BÀI 3. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=a$, $SA=a\sqrt3$ và $SA$ vuông góc với đáy. Xác định và tính góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$.
(Hình 8)
Giải
Ta có $BC \perp SA$ (vì $SA \perp (ABC)$) và $BC \perp AB$ (do tam giác vuông tại $B$). Do đó $BC \perp (SAB)$ và $BC \perp SB$.
Giao tuyến $(SBC)\cap(ABC)$ là $BC$. Độ lớn góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa các đường thẳng tương ứng vuông góc với giao tuyến, ví dụ góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng góc giữa $SB$ và $AB$ trên một mặt vuông góc với $BC$.
Trong tam giác $SAB$, $\tan \angle SBA = \dfrac{SA}{AB} = \sqrt3$, nên $\angle SBA = 60^\circ$. Vậy góc giữa hai mặt phẳng là $60^\circ$.
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm $SC$. Tính góc giữa mặt phẳng $(MBD)$ và $(ABCD)$.
(Hình 9)
Giải
Vì hình chóp đều nên $SO \perp (ABCD)$ tại tâm $O$; và $M$ là trung điểm $SC$. Dựa vào hình chiếu và tam giác vuông, suy ra góc giữa $(MBD)$ và $(ABCD)$ bằng $45^\circ$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$. Các tam giác $SAC$ và $SBD$ cắt tại $S$. Chứng minh:
- $(SAC) \perp (ABC)$;
- $(SAC) \perp (SBD)$.
(Hình 10)
Giải
a) Vì $SO\perp (ABC)$ và $SO\perp BD$, suy ra $(SAC)\perp(ABC)$.
b) Từ tính chất hình thoi và giao của hai mặt phẳng qua đường chéo, suy ra $(SAC)\perp(SBD)$.
Cho lăng trụ đứng lục giác đều có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên $2a$.
a) Tính diện tích xung quanh của lăng trụ.
b) Tính diện tích toàn phần của lăng trụ.
(Hình 11)
Giải
$S_{xq}=6a\cdot2a=12a^2$, $S_{đáy}=6\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}a^2=\dfrac{3\sqrt3}{2}a^2$, nên $S_{tp}=12a^2+3\sqrt3\,a^2$.
Cho hình hộp $ABCDA'B'C'D'$ có tất cả các cạnh bằng $a$ và $\angle BAD=\angle BAA'=\angle DAA'=60^\circ$. Tính tổng diện tích các mặt của hình hộp.
(Hình 12)
Giải
Mỗi mặt là tam giác đều cạnh $a$, diện tích $\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$, tổng cộng $S=3\sqrt3\,a^2$.
Cho hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD A'B'C'D'$ có đáy lớn cạnh $2a$, đáy nhỏ cạnh $a$, cạnh bên $2a$. Tính đường cao của hình chóp cụt và các độ dài cần thiết.
(Hình 13)
Giải
$OC=a\sqrt2,\ OC'=\dfrac{a\sqrt2}{2}\Rightarrow CH=\sqrt{OC^2-OC'^2}=\dfrac{a\sqrt{14}}{2}$.
