🎲 BÀI HỌC TOÁN 11: CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT
Sách giáo khoa Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Chương VIII)
1. Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc
Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc với nhau (\(A \cap B = \emptyset\)) thì xác suất của biến cố hợp \(A \cup B\) bằng tổng xác suất của \(A\) và \(B\):
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]Nếu các biến cố \(A_1, A_2, \dots, A_k\) xung khắc đôi một với nhau (nghĩa là \(A_i \cap A_j = \emptyset\) với mọi \(i \neq j\)), thì:
\[ P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_k) \]Vì biến cố \(A\) và biến cố đối \(\overline{A}\) luôn xung khắc với nhau và \(A \cup \overline{A} = \Omega\), ta có:
\[ P(A) + P(\overline{A}) = P(\Omega) = 1 \Rightarrow P(\overline{A}) = 1 - P(A) \]2. Công thức cộng xác suất cho hai biến cố bất kỳ
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) bất kỳ cùng thuộc một phép thử. Xác suất của biến cố hợp \(A \cup B\) được tính theo công thức:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \]Khi hai biến cố \(A\) và \(B\) không xung khắc (\(A \cap B \neq \emptyset\)), nếu ta cộng trực tiếp \(P(A) + P(B)\) thì phần giao \(AB\) sẽ bị tính trùng hai lần. Do đó, ta phải trừ đi xác suất của phần giao \(P(AB)\) để thu được xác suất chính xác của biến cố hợp \(A \cup B\).
Lưu ý: Nếu \(A\) và \(B\) xung khắc thì \(AB = \emptyset \Rightarrow P(AB) = 0\), công thức tổng quát trở về công thức cộng cho hai biến cố xung khắc.
3. Phương pháp giải toán bằng Biểu đồ Venn
Biểu đồ Venn biểu diễn không gian mẫu \(\Omega\) dưới dạng hình chữ nhật và các biến cố \(A, B\) dưới dạng các tập hợp hình tròn trùng lặp hoặc tách rời.
- Chỉ xảy ra \(A\) (không xảy ra \(B\)): Biểu diễn bằng tập hợp \(A \setminus B\), có xác suất là \(P(A) - P(AB)\).
- Chỉ xảy ra \(B\) (không xảy ra \(A\)): Biểu diễn bằng tập hợp \(B \setminus A\), có xác suất là \(P(B) - P(AB)\).
- Xảy ra cả \(A\) và \(B\): Phần giao nhau \(A \cap B\), có xác suất là \(P(AB)\).
- Không xảy ra cả \(A\) và \(B\): Phần nằm ngoài cả hai hình tròn, có xác suất là \(1 - P(A \cup B)\).
4. Ví dụ minh họa chi tiết (SGK Kết nối tri thức)
Một hộp chứa 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng có kích thước giống hệt nhau. Chọn ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp. Tính xác suất để viên bi chọn được có màu xanh hoặc màu đỏ.
Tổng số viên bi trong hộp là: \(5 + 4 + 3 = 12\) viên.
• Gọi \(A\) là biến cố "Chọn được viên bi màu xanh" \(\Rightarrow P(A) = \displaystyle\frac{5}{12}\).
• Gọi \(B\) là biến cố "Chọn được viên bi màu đỏ" \(\Rightarrow P(B) = \displaystyle\frac{4}{12}\).
Vì viên bi chọn ra không thể vừa có màu xanh vừa có màu đỏ nên hai biến cố \(A\) và \(B\) là xung khắc (\(A \cap B = \emptyset\)).
Biến cố "Chọn được viên bi màu xanh hoặc màu đỏ" là biến cố hợp \(A \cup B\). Theo công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \displaystyle\frac{5}{12} + \displaystyle\frac{4}{12} = \displaystyle\frac{9}{12} = \displaystyle\frac{3}{4} = 0,75 \]Rút ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài tây 52 lá. Tính xác suất để lá bài rút được là lá bài mang hình quân Ách (Ace) hoặc là lá bài màu đỏ.
Số phần tử không gian mẫu \(n(\Omega) = 52\).
• Gọi \(A\) là biến cố "Rút được lá bài mang hình quân Ách". Bộ bài có 4 lá Ách \(\Rightarrow P(A) = \displaystyle\frac{4}{52}\).
• Gọi \(B\) là biến cố "Rút được lá bài màu đỏ". Bộ bài có 26 lá màu đỏ \(\Rightarrow P(B) = \displaystyle\frac{26}{52}\).
• Biến cố \(AB\) là "Rút được lá bài vừa là Ách vừa màu đỏ" (Ách cơ và Ách rô). Bộ bài có 2 lá như vậy \(\Rightarrow P(AB) = \displaystyle\frac{2}{52}\).
Do \(A\) và \(B\) không xung khắc, áp dụng công thức cộng xác suất tổng quát:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \displaystyle\frac{4}{52} + \displaystyle\frac{26}{52} - \displaystyle\frac{2}{52} = \displaystyle\frac{28}{52} = \displaystyle\frac{7}{13} \]Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 25 học sinh thích môn Toán, 18 học sinh thích môn Tiếng Anh và 10 học sinh thích cả hai môn Toán và Tiếng Anh. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Tính xác suất để học sinh đó thích ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Tiếng Anh.
• Gọi \(A\) là biến cố "Học sinh chọn được thích môn Toán" \(\Rightarrow P(A) = \displaystyle\frac{25}{40}\).
• Gọi \(B\) là biến cố "Học sinh chọn được thích môn Tiếng Anh" \(\Rightarrow P(B) = \displaystyle\frac{18}{40}\).
• Biến cố \(AB\) là "Học sinh chọn được thích cả hai môn Toán và Tiếng Anh" \(\Rightarrow P(AB) = \displaystyle\frac{10}{40}\).
Biến cố "Học sinh thích ít nhất một trong hai môn" là biến cố hợp \(A \cup B\). Áp dụng công thức cộng xác suất:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \displaystyle\frac{25}{40} + \displaystyle\frac{18}{40} - \displaystyle\frac{10}{40} = \displaystyle\frac{33}{40} = 0,825 \]5. Bảng tổng kết kiến thức & Bài tập tự luyện
| Trường Hợp Biến Cố | Điều Kiện | Công Thức Cộng Xác Suất |
|---|---|---|
| Hai biến cố xung khắc | \(A \cap B = \emptyset\) (\(P(AB) = 0\)) | \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) |
| Hai biến cố bất kỳ | \(A, B \subset \Omega\) | \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\) |
| Nhiều biến cố xung khắc | \(A_i \cap A_j = \emptyset\) với mọi \(i \neq j\) | \(P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_k) = \sum_{i=1}^k P(A_i)\) |
| Biến cố đối | \(A \cup \overline{A} = \Omega\) | \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\) |
Bài 1: Một hộp chứa 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Tính xác suất để số ghi trên tấm thẻ rút được chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 5.
Không gian mẫu có số phần tử: \(n(\Omega) = 20\).
• Gọi \(A\) là biến cố "Thẻ ghi số chia hết cho 3". Các số từ 1 đến 20 chia hết cho 3 là: \(\{3; 6; 9; 12; 15; 18\}\) (có 6 số) \(\Rightarrow P(A) = \displaystyle\frac{6}{20}\).
• Gọi \(B\) là biến cố "Thẻ ghi số chia hết cho 5". Các số từ 1 đến 20 chia hết cho 5 là: \(\{5; 10; 15; 20\}\) (có 4 số) \(\Rightarrow P(B) = \displaystyle\frac{4}{20}\).
• Biến cố \(AB\) là "Thẻ ghi số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5" (chia hết cho 15). Trong dãy chỉ có số \(15\) (có 1 số) \(\Rightarrow P(AB) = \displaystyle\frac{1}{20}\).
Biến cố "Thẻ ghi số chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 5" là biến cố hợp \(A \cup B\). Áp dụng công thức cộng xác suất tổng quát:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \displaystyle\frac{6}{20} + \displaystyle\frac{4}{20} - \displaystyle\frac{1}{20} = \displaystyle\frac{9}{20} = 0,45 \]Bài 2: Ở một trường THPT, qua điều tra thấy có \(60\%\) học sinh chơi bóng đá, \(50\%\) học sinh chơi cầu lông và \(30\%\) học sinh chơi cả hai môn thể thao này. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường. Tính xác suất để học sinh đó:
a) Chơi ít nhất một trong hai môn thể thao bóng đá hoặc cầu lông.
b) Không chơi môn thể thao nào trong hai môn trên.
• Gọi \(A\) là biến cố "Học sinh chơi bóng đá" \(\Rightarrow P(A) = 60\% = 0,6\).
• Gọi \(B\) là biến cố "Học sinh chơi cầu lông" \(\Rightarrow P(B) = 50\% = 0,5\).
• Biến cố \(AB\) là "Học sinh chơi cả bóng đá và cầu lông" \(\Rightarrow P(AB) = 30\% = 0,3\).
a) Xác suất để học sinh chơi ít nhất một trong hai môn:
Đây chính là xác suất của biến cố hợp \(A \cup B\). Theo công thức cộng xác suất:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,6 + 0,5 - 0,3 = 0,8 \text{ (hoặc } 80\%\text{)} \]b) Xác suất để học sinh không chơi môn nào trong hai môn trên:
Biến cố "Không chơi môn nào" là biến cố đối của biến cố "Chơi ít nhất một trong hai môn", kí hiệu là \(\overline{A \cup B}\).
\[ P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0,8 = 0,2 \text{ (hoặc } 20\%\text{)} \]Bài 3: Khảo sát tại một siêu thị cho thấy xác suất một khách hàng mua sản phẩm X là \(0,4\); mua sản phẩm Y là \(0,35\); mua cả hai sản phẩm X và Y là \(0,15\). Tính xác suất để một khách hàng vào siêu thị mua ít nhất một trong hai sản phẩm X hoặc Y.
• Gọi \(A\) là biến cố "Khách hàng mua sản phẩm X" \(\Rightarrow P(A) = 0,4\).
• Gọi \(B\) là biến cố "Khách hàng mua sản phẩm Y" \(\Rightarrow P(B) = 0,35\).
• Biến cố \(AB\) là "Khách hàng mua cả hai sản phẩm X và Y" \(\Rightarrow P(AB) = 0,15\).
Biến cố "Khách hàng mua ít nhất một trong hai sản phẩm X hoặc Y" là biến cố hợp \(A \cup B\).
Áp dụng công thức cộng xác suất tổng quát:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,4 + 0,35 - 0,15 = 0,6 \]