🎲 BÀI HỌC TOÁN 11: BIẾN CỐ HỢP, BIẾN CỐ GIAO, BIẾN CỐ ĐỘC LẬP
Sách giáo khoa Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Chương VIII)
1. Biến cố hợp
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) cùng thuộc một phép thử. Biến cố "\(A\) hoặc \(B\) xảy ra", kí hiệu là \(A \cup B\), được gọi là biến cố hợp của \(A\) và \(B\).
\[ A \cup B = \{ \omega \in \Omega \mid \omega \in A \text{ hoặc } \omega \in B \} \]Cho \(K\) biến cố \(A_1, A_2, \dots, A_k\). Biến cố "Có ít nhất một trong các biến cố \(A_1, A_2, \dots, A_k\) xảy ra" được gọi là biến cố hợp của \(k\) biến cố đó, kí hiệu là:
\[ A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_k \]2. Biến cố giao
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) cùng thuộc một phép thử. Biến cố "Cả \(A\) và \(B\) đều xảy ra", kí hiệu là \(AB\) (hoặc \(A \cap B\)), được gọi là biến cố giao của \(A\) và \(B\).
\[ A \cap B = \{ \omega \in \Omega \mid \omega \in A \text{ và } \omega \in B \} \]Hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là xung khắc nếu chúng không thể cùng xảy ra trong một phép thử, nghĩa là biến cố giao của chúng là biến cố không thể:
\[ A \cap B = \emptyset \]3. Biến cố độc lập
Hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.
- Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập thì các cặp biến cố: \(A\) và \(\overline{B}\); \(\overline{A}\) và \(B\); \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\) cũng độc lập với nhau.
- Cần phân biệt rõ giữa hai khái niệm: Biến cố xung khắc (không thể cùng xảy ra) và Biến cố độc lập (sự xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất của biến cố kia).
4. Ví dụ minh họa chi tiết (SGK Kết nối tri thức)
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất một lần. Gọi \(A\) là biến cố "Xuất hiện mặt có số chấm là số lẻ", \(B\) là biến cố "Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 3".
a) Hãy mô tả không gian mẫu \(\Omega\) và các biến cố \(A, B\).
b) Mô tả các biến cố hợp \(A \cup B\) và biến cố giao \(AB\).
a) Không gian mẫu: \(\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}\).
• Biến cố \(A = \{1; 3; 5\}\).
• Biến cố \(B = \{4; 5; 6\}\).
b) Biến cố hợp \(A \cup B\) là "Xuất hiện mặt có số chấm là số lẻ hoặc lớn hơn 3":
\[ A \cup B = \{1; 3; 4; 5; 6\} \]• Biến cố giao \(AB\) là "Xuất hiện mặt có số chấm vừa là số lẻ vừa lớn hơn 3":
\[ AB = A \cap B = \{5\} \]Một hộp chứa 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, xem màu rồi trả lại hộp. Sau đó lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Gọi \(A\) là biến cố "Viên bi lấy lần thứ nhất là bi xanh", \(B\) là biến cố "Viên bi lấy lần thứ hai là bi đỏ". Hai biến cố \(A\) và \(B\) có độc lập không?
Vì viên bi lấy ra ở lần thứ nhất được trả lại vào hộp trước khi lấy viên bi lần thứ hai, nên số lượng và tỉ lệ các viên bi trong hộp ở lần lấy thứ hai không bị thay đổi bởi kết quả của lần lấy thứ nhất.
Do đó, việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố \(A\) không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố \(B\). Vậy hai biến cố \(A\) và \(B\) là độc lập với nhau.
5. Bảng tổng kết kiến thức & Bài tập tự luyện
| Tên Khái Niệm | Kí Hiệu | Ý Nghĩa Chi Tiết |
|---|---|---|
| Biến cố hợp | \(A \cup B\) | \(A\) hoặc \(B\) xảy ra (Ít nhất một trong hai biến cố xảy ra) |
| Biến cố giao | \(AB\) hoặc \(A \cap B\) | Cả \(A\) và \(B\) đồng thời xảy ra |
| Biến cố xung khắc | \(A \cap B = \emptyset\) | \(A\) và \(B\) không thể cùng xảy ra trong một phép thử |
| Biến cố độc lập | — | Sự xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia |
📝 Bài tập tự luyện:
Bài 1: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi \(A\) là biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7", \(B\) là biến cố "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm".
a) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) và \(B\).
b) Tìm biến cố giao \(AB\) và biến cố hợp \(A \cup B\).
a) Kí hiệu \((x, y)\) là số chấm xuất hiện ở xúc xắc thứ nhất và thứ hai.
• Các kết quả thuận lợi cho \(A\): \(A = \{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\}\).
• Các kết quả thuận lợi cho \(B\): \(B = \{(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6)\}\).
b) Biến cố giao \(AB\) chứa các kết quả vừa thuộc \(A\) vừa thuộc \(B\):
\[ AB = \{(1, 6), (6, 1)\} \]• Biến cố hợp \(A \cup B\) gộp tất cả các phần tử của \(A\) và \(B\) (không lặp lại):
\[ A \cup B = \{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6)\} \]Bài 2: Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Gọi \(A\) là biến cố "Học sinh đó giỏi môn Toán", \(B\) là biến cố "Học sinh đó giỏi môn Văn".
a) Phát biểu bằng lời các biến cố \(A \cup B\), \(AB\).
b) Biến cố \(A\) và \(B\) có xung khắc với nhau không? Vì sao?
a) Phát biểu bằng lời:
• \(A \cup B\): "Học sinh được chọn giỏi môn Toán hoặc giỏi môn Văn" (hoặc "Học sinh đó giỏi ít nhất một trong hai môn Toán, Văn").
• \(AB\): "Học sinh được chọn giỏi cả hai môn Toán và Văn".
b) Hai biến cố \(A\) và \(B\) không xung khắc với nhau, vì một học sinh hoàn toàn có thể giỏi đồng thời cả môn Toán và môn Văn (tức là tập hợp \(A \cap B \neq \emptyset\)).
Bài 3: Một hộp chứa 4 quả cầu trắng và 6 quả cầu đen. Lấy lần lượt từng quả cầu không hoàn lại. Gọi \(A\) là biến cố "Lần 1 lấy được quả cầu trắng", \(B\) là biến cố "Lần 2 lấy được quả cầu đen". Hỏi hai biến cố \(A\) và \(B\) có độc lập với nhau không? Vì sao?
Hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập (phụ thuộc lẫn nhau).
Giải thích: Vì việc lấy quả cầu là không hoàn lại:
• Nếu biến cố \(A\) xảy ra (lần 1 lấy được quả trắng): Hộp còn lại 3 quả trắng và 6 quả đen (tổng 9 quả). Xác suất lấy quả đen ở lần 2 là \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3}\).
• Nếu biến cố \(A\) không xảy ra (lần 1 lấy được quả đen): Hộp còn lại 4 quả trắng và 5 quả đen (tổng 9 quả). Xác suất lấy quả đen ở lần 2 là \(\frac{5}{9}\).
Do việc xảy ra hay không xảy ra của \(A\) làm thay đổi xác suất xảy ra của \(B\), nên \(A\) và \(B\) không độc lập.