BÀI 28: BIẾN CỐ HỢP, BIẾN CỐ GIAO, BIẾN CỐ ĐỘC LẬP
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

a) Mô tả không gian mẫu \(\Omega\):

b) Liệt kê các phần tử của biến cố hợp \(A \cup B\) và biến cố giao \(AB\):

• Các số nguyên dương nhỏ hơn 7: \[A = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}\]
• Các số nguyên tố từ 1 đến 15: \[B = \{2; 3; 5; 7; 11; 13\}\]
• Biến cố hợp \(A \cup B\): Lấy hợp tất cả các phần tử thuộc \(A\) hoặc thuộc \(B\): \[A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 11; 13\}\]
• Biến cố giao \(AB\) (hay \(A \cap B\)): Lấy các phần tử vừa thuộc \(A\) vừa thuộc \(B\): \[AB = \{2; 3; 5\}\]

Gọi \(x, y\) lần lượt là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc thứ nhất và con xúc xắc thứ hai (\(x, y \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}\)).

Tích \(x \cdot y\) là một số chẵn khi và chỉ khi xảy ra ít nhất một trong hai trường hợp sau:

• Trường hợp 1: Cả \(x\) và \(y\) đều là số chẵn. Đây chính là nội dung của biến cố \(E\).
• Trường hợp 2: Trong hai số \(x\) và \(y\) có một số chẵn và một số lẻ (tức hai số khác tính chẵn lẻ). Đây chính là nội dung của biến cố \(F\).

Như vậy, biến cố \(K\) "Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn" xảy ra khi và chỉ khi biến cố \(E\) xảy ra hoặc biến cố \(F\) xảy ra.

Do đó, \(K = E \cup F\), nghĩa là \(K\) là biến cố hợp của \(E\) và \(F\) (đpcm).

• Biến cố hợp \(P \cup Q\): "Học sinh đó bị cận thị hoặc học giỏi môn Toán".
• Biến cố giao \(PQ\) (hay \(P \cap Q\)): "Học sinh đó bị cận thị và học giỏi môn Toán".
• Biến cố \(\overline{P}\overline{Q}\) (hay \(\overline{P} \cap \overline{Q}\)):
  Vì \(\overline{P}\) là biến cố "Học sinh đó không bị cận thị" và \(\overline{Q}\) là biến cố "Học sinh đó không học giỏi môn Toán", nên biến cố \(\overline{P}\overline{Q}\) là:
  "Học sinh đó không bị cận thị và không học giỏi môn Toán".

• Việc bắt ngẫu nhiên một con thỏ từ Chuồng I không làm ảnh hưởng tới kết quả bắt thỏ từ Chuồng II.
• Biến cố \(A\) chỉ phụ thuộc vào số lượng và tỉ lệ thỏ trắng, thỏ đen trong Chuồng I.
• Biến cố \(B\) chỉ phụ thuộc vào số lượng và tỉ lệ thỏ đen, thỏ trắng trong Chuồng II.
• Xác suất xảy ra biến cố \(A\) không bị ảnh hưởng bởi việc biến cố \(B\) có xảy ra hay không, và ngược lại, xác suất xảy ra biến cố \(B\) cũng không phụ thuộc vào việc biến cố \(A\) có xảy ra hay không.

Vậy hai biến cố \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập (đpcm).

• Chuồng I ban đầu có 12 con gà (\(9\) mái, \(3\) trống). Chuồng II ban đầu có 9 con gà (\(3\) mái, \(6\) trống).
• Nếu biến cố \(E\) xảy ra (bắt được 1 con gà trống từ chuồng I để bán):
  Chuồng I còn lại 9 gà mái và 2 gà trống (tổng 11 con).
  Khi dồn 11 con gà này vào chuồng II, chuồng II lúc này có tổng cộng \(9 + 11 = 20\) con gà, trong đó số gà mái là \(3 + 9 = 12\) con gà mái.
  Do đó, xác suất xảy ra biến cố \(F\) khi \(E\) xảy ra là: \[P(F|E) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0,6\]
• Nếu biến cố \(E\) không xảy ra (tức bắt được 1 con gà mái từ chuồng I để bán):
  Chuồng I còn lại 8 gà mái và 3 gà trống (tổng 11 con).
  Khi dồn 11 con gà này vào chuồng II, chuồng II lúc này có tổng cộng \(20\) con gà, trong đó số gà mái là \(3 + 8 = 11\) con gà mái.
  Do đó, xác suất xảy ra biến cố \(F\) khi \(E\) không xảy ra là: \[P(F|\overline{E}) = \frac{11}{20} = 0,55\]

Vì \(P(F|E) \neq P(F|\overline{E})\) (\(0,6 \neq 0,55\)), việc biến cố \(E\) có xảy ra hay không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố \(F\).

Vậy hai biến cố \(E\) và \(F\) không độc lập (đpcm).