BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tam giác vuông tại $B$. Cạnh $SB$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC$. Kẻ $AI$, $BI$ và $SE$. Chứng minh rằng:
- a) $BI \perp (SAD)$
- b) $EI \perp (SAC)$
- c) $AI \perp (SBC)$
Lời giải: (Hình 7)
Vì $S \perp (ABCD)$ nên $S \perp AB, S \perp AD$. Giả sử $\triangle SAB, SAD$ nằm trong cùng mặt phẳng. Khi đó $S$ là đỉnh chung, $SA \perp AB$, $SA \perp AD$ nên $SA \perp (ABD)$.
Do $B, D \in (ABD)$ nên $SA \perp BD$. Suy ra $BI \perp (SAD)$.
Tương tự, ta có $EI \perp (SAC)$ và $AI \perp (SBC)$. Các điều kiện vuông góc này có thể kiểm tra qua các mặt phẳng trung gian và góc vuông tại các trung điểm $I, E$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$. Gọi $H, K, L$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm $A, B, C$ trên các cạnh $SB, SC, SD$. Chứng minh rằng:
- a) $BC \perp (SAH)$
- b) $HK \perp (SAD)$
- c) $SAH$ là tam giác vuông cân.
Lời giải: (Hình 8)
Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp AB, SA \perp AD$. Ta có $CD \parallel AB$, $BC \parallel AD$ nên $SA \perp (ABCD)$ suy ra $SA \perp BC$.
Ta có $SAH$ vuông tại $A$, vì $AH \perp SB$ và $SA \perp (ABCD)$. Tam giác $SAH$ là tam giác vuông cân tại $A$, suy ra $\angle SAH = 45^\circ$.
Do đó, $HK$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $HK \parallel AB$ và $HK \perp (SAD)$.
Cho tứ diện $ABCD$ có $ABC$ và $BCD$ là các tam giác cân tại $A$ và $D$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$.
a) Chứng minh rằng $AD \perp (IBC)$.
b) Kẻ $AH$ là đường cao của tam giác $ABD$. Chứng minh rằng $IH \perp (ABD)$.
Lời giải: (Hình 9)
Do $ABC$ cân tại $A$, nên $AI \perp BC$. Do $BCD$ cân tại $D$, nên $DI \perp BC$. Vậy $AI$ và $DI$ cùng vuông góc với $BC$, suy ra $AD \perp (IBC)$.
Gọi $H$ là chân đường cao từ $A$ xuống $(ABD)$, khi đó $AH \perp BD$. Vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $IH \perp (ABD)$ theo tính chất của hai đường cao trong các mặt phẳng song song.
Cho tứ diện $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $SB = AB$, $SC = AC$. Gọi $H, I, K$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC, AC$. Chứng minh rằng:
- a) $AC \perp (SAB)$
- b) $BH \perp (SAC)$
- c) $KI \perp SA$
Lời giải: (Hình 10)
a) Vì $SB = AB$ và tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $SA \perp AB$. Do đó, $AC \perp (SAB)$.
b) Tam giác $SBC$ cân tại $S$, $SB = SC$, nên trung tuyến $BH$ đồng thời là đường cao, suy ra $BH \perp (SAC)$.
c) $KI$ là đường trung bình trong tam giác $SAB$, do đó $KI \parallel AB$ và $KI \perp SA$.
