BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tam giác vuông tại $B$. Cạnh $SB$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC$. Kẻ $AI$, $BI$ và $SE$. Chứng minh rằng:
- a) $BI \perp (SAD)$
- b) $EI \perp (SAC)$
- c) $AI \perp (SBC)$
Lời giải: (Hình 7)
Vì $S \perp (ABCD)$ nên $S \perp AB, S \perp AD$. Giả sử $\triangle SAB, SAD$ nằm trong cùng mặt phẳng. Khi đó $S$ là đỉnh chung, $SA \perp AB$, $SA \perp AD$ nên $SA \perp (ABD)$.
Do $B, D \in (ABD)$ nên $SA \perp BD$. Suy ra $BI \perp (SAD)$.
Tương tự, ta có $EI \perp (SAC)$ và $AI \perp (SBC)$. Các điều kiện vuông góc này có thể kiểm tra qua các mặt phẳng trung gian và góc vuông tại các trung điểm $I, E$.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$. Gọi $H, K, L$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm $A, B, C$ trên các cạnh $SB, SC, SD$. Chứng minh rằng:
- a) $BC \perp (SAH)$
- b) $HK \perp (SAD)$
- c) $SAH$ là tam giác vuông cân.
Lời giải: (Hình 8)
Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp AB, SA \perp AD$. Ta có $CD \parallel AB$, $BC \parallel AD$ nên $SA \perp (ABCD)$ suy ra $SA \perp BC$.
Ta có $SAH$ vuông tại $A$, vì $AH \perp SB$ và $SA \perp (ABCD)$. Tam giác $SAH$ là tam giác vuông cân tại $A$, suy ra $\angle SAH = 45^\circ$.
Do đó, $HK$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $HK \parallel AB$ và $HK \perp (SAD)$.
Cho tứ diện $ABCD$ có $ABC$ và $BCD$ là các tam giác cân tại $A$ và $D$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$.
a) Chứng minh rằng $AD \perp (IBC)$.
b) Kẻ $AH$ là đường cao của tam giác $ABD$. Chứng minh rằng $IH \perp (ABD)$.
Lời giải: (Hình 9)
Do $ABC$ cân tại $A$, nên $AI \perp BC$. Do $BCD$ cân tại $D$, nên $DI \perp BC$. Vậy $AI$ và $DI$ cùng vuông góc với $BC$, suy ra $AD \perp (IBC)$.
Gọi $H$ là chân đường cao từ $A$ xuống $(ABD)$, khi đó $AH \perp BD$. Vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $IH \perp (ABD)$ theo tính chất của hai đường cao trong các mặt phẳng song song.
Cho tứ diện $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $SB = AB$, $SC = AC$. Gọi $H, I, K$ lần lượt là trung điểm của $AB, BC, AC$. Chứng minh rằng:
- a) $AC \perp (SAB)$
- b) $BH \perp (SAC)$
- c) $KI \perp SA$
Lời giải: (Hình 10)
a) Vì $SB = AB$ và tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $SA \perp AB$. Do đó, $AC \perp (SAB)$.
b) Tam giác $SBC$ cân tại $S$, $SB = SC$, nên trung tuyến $BH$ đồng thời là đường cao, suy ra $BH \perp (SAC)$.
c) $KI$ là đường trung bình trong tam giác $SAB$, do đó $KI \parallel AB$ và $KI \perp SA$.
