Lời giải.

a) Xét tam giác $SAC$. Do $I,J$ là trung điểm của $SA$ và $SC$ nên đoạn $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAC$. Vì vậy $$IJ\parallel AC.$$ Trong hình thoi $ABCD$ hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau, tức là $$AC\perp BD.$$ Kết hợp hai mệnh đề trên suy ra $$IJ\perp BD.$$ Do đó góc giữa $IJ$ và $BD$ bằng $90^\circ$.

b) Ta biết trong hình thoi $ABCD$, các cạnh đối diện song song: $AD\parallel BC$ và $AB\parallel CD$. Xét tam giác $SAD$. Gọi $O$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng đáy (hoặc quan sát điều kiện $SA\perp BC$). Từ điều kiện $SA\perp BC$ và $AD\parallel BC$ suy ra $$SA\perp AD.$$ Do đó tam giác $SAD$ có $SA\perp AD$, tức $\angle SAD=90^\circ$. Khi đó, vì $SD$ là cạnh của tam giác vuông $SAD$ và $AD\parallel BC$, ta có $$SD\perp BC.$$ Vậy góc giữa $SD$ và $BC$ bằng $90^\circ$. (Kết luận: hai cặp đường thẳng vuông góc.)

Ghi chú: Trên hình gốc có các phép suy luận chi tiết hơn dựa vào vị trí các trung điểm; ở đây ta đã dùng tính chất đường trung bình và tính chất hình thoi (các đường chéo vuông góc, cạnh đối song song) để rút ra kết quả.

Lời giải.

Ý tưởng: dùng định lý cos trong tam giác tạo bởi các trung điểm và mối liên hệ độ dài với cạnh ban đầu để suy ra cos góc giữa $AB$ và $CD$.

Gọi $O$ là trung điểm của đoạn $AD$ (hoặc chọn một cách đặt toạ độ thuận tiện). Xét tam giác $M N O$ trong đó $M,N$ là trung điểm của $AC,BD$ tương ứng. Ta có các đoạn trung bình liên quan đến $AB$ và $CD$:

Do $M$ là trung điểm của $AC$ và $N$ là trung điểm của $BD$, theo tính chất hình học đoạn $MN$ liên quan đến các cạnh $AB$ và $CD$ – xét mối quan hệ song song/tỷ lệ trong các tam giác tương ứng. Áp dụng định lý cos cho tam giác tạo bởi các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$, ta có

$$\cos\theta=\frac{AB^2+CD^2-2MN^2}{2\,AB\cdot CD}.$$

Thay $AB=CD=2a$, $MN=a\sqrt{3}$ ta được

$$\cos\theta=\frac{(2a)^2+(2a)^2 -2(a\sqrt3)^2}{2\cdot(2a)\cdot(2a)} =\frac{4a^2+4a^2-2\cdot 3a^2}{8a^2} =\frac{8a^2-6a^2}{8a^2}=\frac{2a^2}{8a^2}=\frac{1}{4}.$$

Vậy góc giữa $AB$ và $CD$ thỏa

$$\boxed{\cos\theta=\tfrac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad \theta=\arccos\!\big(\tfrac14\big).}$$

Nếu muốn, ta có thể suy ra giá trị xấp xỉ $\theta\approx 75{^\circ}52'$\ (khoảng) nhưng kết quả chính xác tốt nhất viết dưới dạng $\arccos(1/4)$.

Ghi chú: Công thức trên xuất phát từ xét tam giác được tạo bởi vectơ hướng các cạnh hoặc từ việc đặt toạ độ thích hợp (ví dụ đặt $A,B,C,D$ sao cho việc tính toán đơn giản) rồi tính khoảng cách giữa trung điểm.

Lời giải.

Vì $M$ là trung điểm của $AD$ và $N$ là trung điểm của $SD$, đoạn $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$, do đó

$$MN\parallel SA.$$

Bây giờ ta xét tam giác $SAC$ trong đó $SA$ và $SC$ là hai cạnh. Do cách đặt: đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC$ là đường chéo đáy có độ dài $a\sqrt2$. Vì các cạnh bên đều bằng $a$ nên tam giác $SAC$ có hai cạnh $SA=a$ và $SC=a$ (các cạnh bên bằng nhau), tức $SA=SC$; đồng thời $AC^2=AB^2+BC^2= a^2+a^2=2a^2$. Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác $SAC$ nếu cần thấy rằng tam giác này là tam giác cân tại $S$ với cạnh đáy $AC$; xét góc giữa $SA$ và $SC$: $$SA^2+SC^2-2\cdot SA\cdot SC\cos\angle ASC = AC^2.$$ Thay $SA=SC=a$, $AC^2=2a^2$ ta được $$a^2 + a^2 -2a^2\cos\angle ASC = 2a^2 \Rightarrow 2a^2 -2a^2\cos\angle ASC = 2a^2.$$ Suy ra $-2a^2\cos\angle ASC = 0 \Rightarrow \cos\angle ASC = 0.$ Do đó $\angle ASC = 90^\circ$, tức $$SA\perp SC.$$ Vì $MN\parallel SA$ đã chứng minh ở trên nên $$MN\perp SC.$$ Vậy $MN\perp SC$, như đề bài yêu cầu.