BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VII
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

• (1) Đúng (theo định lý hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó).
• (2) Đúng (theo tính chất của hai mặt phẳng vuông góc).
• (3) Đúng (theo điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc).
• (4) Sai (đường thẳng nằm trong mặt phẳng thứ nhất muốn vuông góc với mặt phẳng thứ hai thì phải vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng).

Có 3 phát biểu đúng là (1), (2), (3).

Chọn C.

Theo tính chất hai mặt phẳng vuông góc: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. Do đó phát biểu B là đúng.

Chọn B.

• Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\) \(\Rightarrow SO \perp (ABCD)\) và \(AC \perp BD\).
• Ta có \(AC \perp SO\) và \(AC \perp BD \Rightarrow AC \perp (SBD)\).
• Mặt phẳng \((SAC)\) chứa \(AC\) nên \((SAC) \perp (SBD)\).
• Hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((BAC)\) (mặt phẳng chứa \(\triangle ABC\)) cắt nhau theo giao tuyến \(AC\), và hai mặt phẳng \((SAC)\), \((BAC)\) lần lượt vuông góc với \((SBD)\), làm cho góc phẳng nhị diện \([S, AC, B]\) là góc vuông (\(90^\circ\)).

Chọn C.

• \(BC \perp AB\) và \(BC \perp SA \Rightarrow BC \perp (SAB)\) (A đúng).
• \(BD \perp AC\) và \(BD \perp SA \Rightarrow BD \perp (SAC)\) (B đúng).
• \(AD \perp AB\) và \(AD \perp SA \Rightarrow AD \perp (SAB)\) (D đúng).
• \(AC\) không vuông góc với \(SD\), do đó \(AC\) không vuông góc với \((SBD)\) (C sai).

Chọn C.

Công thức tính thể tích khối chóp là \(V = \frac{1}{3} S \cdot h\).

Chọn C.

Gọi \(h = d(O, (ABC))\). Áp dụng công thức tính khoảng cách trong tam diện vuông \(OABC\) có ba cạnh vuông góc tại \(O\):

Thay các giá trị \(OA = a, OB = a\sqrt{2}, OC = 2a\) vào công thức:

Vậy khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \((ABC)\) bằng \(\frac{2a\sqrt{7}}{7}\).

a) Chứng minh \(BC \perp (AID)\):

• \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), có đường trung tuyến \(AI \Rightarrow AI \perp BC\).
• \(\Delta BCD\) cân tại \(D\), có đường trung tuyến \(DI \Rightarrow DI \perp BC\).
• Vì \(BC \perp AI\) và \(BC \perp DI\), suy ra \(BC \perp (AID)\).

b) Chứng minh \(AH \perp (BCD)\):

• Vì \(BC \perp (AID)\) và \(AH \subset (AID)\) nên \(BC \perp AH\) (hay \(AH \perp BC\)).
• Theo giả thiết, \(AH\) là đường cao của \(\Delta AID\) nên \(AH \perp ID\).
• Trong mặt phẳng \((BCD)\), hai đường thẳng \(BC\) và \(ID\) cắt nhau. Do \(AH \perp BC\) và \(AH \perp ID\), suy ra \(AH \perp (BCD)\).

c) Chứng minh \(IJ\) là đường vuông góc chung của \(AD\) và \(BC\):

• Vì \(BC \perp (AID)\) và \(IJ \subset (AID)\) nên \(IJ \perp BC\).
• Theo giả thiết, \(IJ\) là đường cao của \(\Delta AID\) ứng với cạnh \(AD\) nên \(IJ \perp AD\).

Vì \(IJ\) vừa vuông góc với \(AD\) vừa vuông góc với \(BC\) nên \(IJ\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AD\) và \(BC\).

a) Chứng minh \((SBC) \perp (SAB)\):

• \(\Delta ABC\) vuông tại \(B \Rightarrow BC \perp AB\).
• \(SA \perp (ABC) \Rightarrow BC \perp SA\).
• Suy ra \(BC \perp (SAB)\). Mà \(BC \subset (SBC)\) nên \((SBC) \perp (SAB)\).

b) Tính các khoảng cách:

• Trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), có \(\widehat{CAB} = 30^\circ\) và \(BC = a\): \[AB = \frac{BC}{\tan 30^\circ} = \frac{a}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = a\sqrt{3}\] \[AC = \frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{a}{\frac{1}{2}} = 2a\]
• Khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(SC\):
  Kẻ \(AK \perp SC\) tại \(K\). Do \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\) (vì \(SA \perp AC\)): \[\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{(a\sqrt{2})^2} + \frac{1}{(2a)^2} = \frac{1}{2a^2} + \frac{1}{4a^2} = \frac{3}{4a^2} \Rightarrow AK = \frac{2a\sqrt{3}}{3}\]
• Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\):
  Kẻ \(AH \perp SB\) tại \(H\). Do \(BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp AH\).
  Suy ra \(AH \perp (SBC) \Rightarrow d(A, (SBC)) = AH\).
  Trong \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\): \[\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AB^2} = \frac{1}{2a^2} + \frac{1}{3a^2} = \frac{5}{6a^2} \Rightarrow AH = a\sqrt{\frac{6}{5}} = \frac{a\sqrt{30}}{5}\]

a) Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\):

• Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\). Vì \(\Delta SAD\) cân tại \(S\) nên \(SH \perp AD\).
• Do \((SAD) \perp (ABCD)\) theo giao tuyến \(AD\) nên \(SH \perp (ABCD)\). Chiều cao hình chóp là \(SH\).
• Trong tam giác vuông cân \(SAD\) tại \(S\) có cạnh huyền \(AD = a\): \[SH = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}\]
• Diện tích hình vuông đáy \(ABCD\): \(S_{ABCD} = a^2\).
• Thể tích khối chóp: \[V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6}\]

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(SC\):

• Vì \(AD \parallel BC\) nên \(AD \parallel (SBC)\).
• Do đó \(d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(H, (SBC))\).
• Kẻ \(HM \perp CD\) (hoặc kẻ từ \(H\) vuông góc với đường tương ứng). Do \(CD \parallel AB\) và \(AB \perp AD\), suy ra \(HM \parallel AB \Rightarrow HM \perp CD\) và \(HM = a\).
• Kẻ \(HK \perp SM\) tại \(K\). Khi đó \(HK \perp (SBC) \Rightarrow d(H, (SBC)) = HK\).
• Trong tam giác \(SHM\) vuông tại \(H\) với \(SH = \frac{a}{2}\) và \(HM = a\): \[\frac{1}{HK^2} = \frac{1}{SH^2} + \frac{1}{HM^2} = \frac{1}{\left(\frac{a}{2}\right)^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{4}{a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{5}{a^2} \Rightarrow HK = \frac{a\sqrt{5}}{5}\]

Vậy khoảng cách giữa \(AD\) và \(SC\) bằng \(\frac{a\sqrt{5}}{5}\).

a) Thể tích của khối hộp:

• Vì \(AA' \perp (ABCD)\) nên chiều cao hình hộp là \(h = AA' = a\).
• Đáy \(ABCD\) là hình hình thoi cạnh \(a\) có \(\widehat{BAD} = 60^\circ\).
  Diện tích đáy: \(S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin 60^\circ = a \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\).
• Thể tích khối hộp: \[V = S_{ABCD} \cdot AA' = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{a^3\sqrt{3}}{2}\]

b) Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((A'BD)\):

• Tứ diện \(A.A'BD\) là tứ diện vuông tại \(A\) do \(AB, AD\) nằm trong đáy và \(AA' \perp (ABCD)\).
  Trong mặt phẳng đáy, kẻ \(AH \perp BD\) tại \(H\). Do \(\Delta ABD\) là tam giác đều cạnh \(a\) (vì \(AB = AD = a\) và \(\widehat{BAD} = 60^\circ\)), nên \(AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
• Kẻ \(AK \perp A'H\) tại \(K\). Vì \(BD \perp AH\) và \(BD \perp AA' \Rightarrow BD \perp (A'AH) \Rightarrow BD \perp AK\).
  Suy ra \(AK \perp (A'BD) \Rightarrow d(A, (A'BD)) = AK\).
• Trong tam giác \(A'AH\) vuông tại \(A\): \[\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{AH^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{7}{3a^2} \Rightarrow AK = a\sqrt{\frac{3}{7}} = \frac{a\sqrt{21}}{7}\]

• \(A'.ABCD\) là hình chóp đều cạnh \(a\) nên đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) có diện tích \(S_{ABCD} = a^2\).
• Gọi \(O = AC \cap BD\) là tâm của đáy \(ABCD\). Khi đó \(A'O \perp (ABCD)\).
• Đường chéo \(AC = a\sqrt{2} \Rightarrow AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).
• Trong tam giác \(A'OA\) vuông tại \(O\): \[h = A'O = \sqrt{A'A^2 - AO^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\]
• Thể tích khối lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\): \[V = S_{ABCD} \cdot A'O = a^2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{2}\]
• Thể tích khối chóp \(A'.BB'C'C\):
  Mặt bên \(BB'C'C\) của lăng trụ là hình bình hành bằng với các mặt tương ứng. Thể tích khối chóp \(A'.BB'C'C\) bằng \(\frac{1}{3}\) thể tích khối lăng trụ: \[V_{A'.BB'C'C} = \frac{1}{3} V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^3\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{6}\]

• Hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\) cùng vuông góc với \((ABCD)\) nên giao tuyến của chúng là \(SO \perp (ABCD)\) (với \(O = AC \cap BD\)).
  Do đó khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \((ABCD)\) là độ dài đoạn thẳng \(SO\).
• Hình thang cân \(ABCD\) có \(AB = BC = DA = a\) và \(CD = 2a\).
  Ta có \(\Delta ACD\) vuông tại \(A\) và đường chéo \(AC = a\sqrt{3}\).
  Tỉ số hai đáy \(AB \parallel CD\) là \(\frac{AB}{CD} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}\).
  Suy ra \(AO = \frac{1}{3} AC = \frac{a\sqrt{3}}{3}\).
• Trong tam giác \(SOA\) vuông tại \(O\) (do \(SO \perp AO\)): \[SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{2a^2 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{5a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{15}}{3}\]
• Chiều cao hình thang cân \(ABCD\): \(h_{\text{thang}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
  Diện tích đáy \(ABCD\): \[S_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \cdot h_{\text{thang}}}{2} = \frac{(a + 2a) \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}\]
• Thể tích khối chóp \(S.ABCD\): \[V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{3a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{15}}{3} = \frac{a^3\sqrt{45}}{12} = \frac{a^3\sqrt{5}}{4}\]

• Xét tam giác \(ABC\) được tạo bởi cây cột \(AB = 10\text{ m}\), bóng cây cột \(BC = 12\text{ m}\) và góc \(\widehat{ABC} = 120^\circ\).
• Tia sáng mặt trời đi qua đỉnh cột \(A\) và đầu bóng \(C\), do đó đường thẳng chứa tia sáng mặt trời là đường thẳng \(AC\).
• Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(ABC\) để tính độ dài cạnh \(AC\): \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ\] \[AC^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \times 10 \times 12 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 100 + 144 + 120 = 364\] \[\Rightarrow AC = \sqrt{364} = 2\sqrt{91} \approx 19,08\text{ (m)}\]
• Gọi \(A'\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên mặt đất. Khi đó góc giữa cây cột \(AB\) và mặt đất bằng góc \(\widehat{ABA'} = 80^\circ\).
  Chiều cao vuông góc từ \(A\) xuống mặt đất là: \[AA' = AB \cdot \sin 80^\circ = 10 \cdot \sin 80^\circ \approx 9,85\text{ (m)}\]
• Góc \(\alpha\) giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời \(AC\) và mặt phẳng mặt đất là góc \(\widehat{ACA'}\) trong tam giác vuông \(AA'C\) tại \(A'\): \[\sin \alpha = \frac{AA'}{AC} = \frac{10 \cdot \sin 80^\circ}{\sqrt{364}} \approx \frac{9,848}{19,0788} \approx 0,5162\] \[\Rightarrow \alpha = \arcsin(0,5162) \approx 31,08^\circ \text{ (hay } 31^\circ 5'\text{)}\]

Vậy góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm đó khoảng \(31,08^\circ\).