📦 BÀI HỌC TOÁN 11: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Sách giáo khoa Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Chương IX)
1. Thể tích khối khối hộp chữ nhật và khối lăng trụ
Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước \(a, b, c\) bằng tích ba kích thước đó:
\[ V = a \cdot b \cdot c \]Nếu gọi \(S = a \cdot b\) là diện tích đáy và \(h = c\) là chiều cao thì: \(V = S \cdot h\).
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) (khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy) được tính bằng:
\[ V = S \cdot h \]2. Thể tích khối chóp
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) (khoảng cách từ đỉnh chóp đến mặt phẳng đáy) bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao:
\[ V = \displaystyle\frac{1}{3} S \cdot h \]- Chóp có cạnh bên vuông góc đáy: Chiều cao \(h\) bằng độ dài cạnh bên vuông góc đó.
- Chóp có mặt bên vuông góc đáy: Chiều cao \(h\) chính là đường cao của tam giác mặt bên vuông góc đó kẻ từ đỉnh chóp.
- Chóp đều: Chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
3. Thể tích khối chóp cụt đều
Cho khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy lần lượt là \(S_1, S_2\) và chiều cao \(h\) (khoảng cách giữa hai mặt phẳng chứa hai đáy). Thể tích khối chóp cụt đều được tính theo công thức:
\[ V = \displaystyle\frac{1}{3} h \left( S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2} \right) \]4. Tỉ số thể tích & Phương pháp phân chia khối đa diện
Cho khối chóp tam giác \(S.ABC\). Trên các cạnh \(SA, SB, SC\) lần lượt lấy các điểm \(A', B', C'\) khác đỉnh \(S\). Ta có tỉ số thể tích:
\[ \displaystyle\frac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \displaystyle\frac{SA'}{SA} \cdot \displaystyle\frac{SB'}{SB} \cdot \displaystyle\frac{SC'}{SC} \]Nếu một khối đa diện \((H)\) được chia thành hai khối đa diện \((H_1)\) và \((H_2)\) không có điểm trong chung thì thể tích của \((H)\) bằng tổng thể tích của \((H_1)\) và \((H_2)\):
\[ V_{(H)} = V_{(H_1)} + V_{(H_2)} \]5. Ví dụ minh họa chi tiết (SGK Kết nối tri thức)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AC = a\sqrt{2}\). Cạnh bên \(SA \perp (ABC)\) và góc giữa mặt phẳng \((SBC)\) và mặt phẳng \((ABC)\) bằng \(60^\circ\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
• Vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) có \(AC = a\sqrt{2}\) \(\Rightarrow AB = BC = a\).
• Diện tích đáy tam giác \(ABC\): \(S_{\Delta ABC} = \displaystyle\frac{1}{2} AB \cdot BC = \displaystyle\frac{1}{2} a \cdot a = \displaystyle\frac{a^2}{2}\).
• Do \(SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp BC\). Mặt khác \(AB \perp BC \Rightarrow BC \perp (SAB)\).
• Suy ra \(BC \perp SB\). Khi đó góc giữa \((SBC)\) và \((ABC)\) là góc \(\widehat{SBA} = 60^\circ\).
• Xét tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\): \(SA = AB \cdot \tan 60^\circ = a\sqrt{3}\).
• Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là:
\[ V = \displaystyle\frac{1}{3} S_{\Delta ABC} \cdot SA = \displaystyle\frac{1}{3} \cdot \displaystyle\frac{a^2}{2} \cdot a\sqrt{3} = \displaystyle\frac{a^3 \sqrt{3}}{6} \]Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của đỉnh \(A'\) lên mặt phẳng \((ABC)\) trùng với trung điểm \(H\) của cạnh \(AB\). Cho biết góc giữa đường thẳng \(A'A\) và đáy bằng \(45^\circ\). Tính thể tích khối lăng trụ.
• Diện tích tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\): \(S_{\Delta ABC} = \displaystyle\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\).
• Vì \(A'H \perp (ABC)\) nên \(AH\) là hình chiếu của \(A'A\) lên \((ABC)\).
• Do đó góc giữa \(A'A\) và \((ABC)\) là góc \(\widehat{A'AH} = 45^\circ\).
• Do \(H\) là trung điểm \(AB\) nên \(AH = \displaystyle\frac{a}{2}\).
• Trong tam giác \(A'AH\) vuông tại \(H\): \(A'H = AH \cdot \tan 45^\circ = \displaystyle\frac{a}{2} \cdot 1 = \displaystyle\frac{a}{2}\).
• Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là:
\[ V = S_{\Delta ABC} \cdot A'H = \displaystyle\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \displaystyle\frac{a}{2} = \displaystyle\frac{a^3 \sqrt{3}}{8} \]Cho khối chóp tứ diện \(S.ABC\) có thể tích bằng \(V\). Gọi \(M, N, P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA, SB, SC\). Tính thể tích khối đa diện \(ABCMNP\).
• Xét khối chóp tam giác \(S.MNP\), áp dụng công thức tỉ số thể tích Simson:
\[ \displaystyle\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}} = \displaystyle\frac{SM}{SA} \cdot \displaystyle\frac{SN}{SB} \cdot \displaystyle\frac{SP}{SC} \]• Vì \(M, N, P\) là trung điểm nên \(\displaystyle\frac{SM}{SA} = \displaystyle\frac{SN}{SB} = \displaystyle\frac{SP}{SC} = \displaystyle\frac{1}{2}\).
\[ \Rightarrow \displaystyle\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}} = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{2} \cdot \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{1}{8} \Rightarrow V_{S.MNP} = \displaystyle\frac{1}{8} V \]• Thể tích khối đa diện còn lại \(ABCMNP\) là:
\[ V_{ABCMNP} = V_{S.ABC} - V_{S.MNP} = V - \displaystyle\frac{1}{8} V = \displaystyle\frac{7}{8} V \]6. Bảng tổng kết công thức & Bài tập tự luyện
| Khối Hình Đa Diện | Công Thức Thể Tích | Giải Thích Đại Lượng |
|---|---|---|
| Khối hộp chữ nhật | \(V = a \cdot b \cdot c\) | \(a, b, c\) là ba kích thước chiều dài, rộng, cao |
| Khối lăng trụ | \(V = S \cdot h\) | \(S\): Diện tích đáy, \(h\): Chiều cao lăng trụ |
| Khối chóp | \(V = \displaystyle\frac{1}{3} S \cdot h\) | \(S\): Diện tích đáy, \(h\): Chiều cao khối chóp |
| Khối chóp cụt đều | \(V = \displaystyle\frac{1}{3} h \left( S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2} \right)\) | \(S_1, S_2\): Diện tích 2 đáy, \(h\): Khoảng cách 2 đáy |
| Tỉ số thể tích (Simson) | \(\displaystyle\frac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \displaystyle\frac{SA'}{SA} \cdot \displaystyle\frac{SB'}{SB} \cdot \displaystyle\frac{SC'}{SC}\) | Áp dụng duy nhất cho khối chóp tam giác |
Bài 1: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA \perp (ABCD)\) và \(SA = a\sqrt{2}\).
a) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\). Tính thể tích khối chóp \(M.ABC\).
Bài 2: Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a\), \(AC = a\sqrt{3}\). Cạnh bên \(AA' = 2a\).
a) Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
b) Tính thể tích khối chóp \(A'.ABC\).
Bài 3: Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), cạnh bên bằng \(a\sqrt{3}\).
a) Tính chiều cao và thể tích của khối chóp \(S.ABCD\).
b) Một mặt phẳng song song với đáy cắt các cạnh bên \(SA, SB, SC, SD\) lần lượt tại \(A', B', C', D'\) sao cho \(SA' = \displaystyle\frac{2}{3} SA\). Tính thể tích khối chóp cụt \(ABCD.A'B'C'D'\).