BÀI 27: THỂ TÍCH
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

• Gọi \(O\) là trọng tâm của tam giác đều \(ABC\). Do \(S.ABC\) là hình chóp đều nên \(SO \perp (ABC)\).
• Diện tích đáy tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\): \[S_{\Delta ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy: \(AO = \frac{a\sqrt{3}}{3}\).
• Chiều cao của khối chóp: \[h = SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}}\]
• Thể tích khối chóp đều \(S.ABC\): \[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\Delta ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}} = \frac{a^2}{12} \sqrt{3b^2 - a^2}\]
• Suy ra thể tích khối tứ diện đều cạnh \(a\):
  Tứ diện đều cạnh \(a\) là khối chóp đều \(S.ABC\) có tất cả các cạnh bằng \(a\), tức là \(b = a\).
  Thay \(b = a\) vào công thức trên: \[V_{tứ\,diện\,đều} = \frac{a^2}{12} \sqrt{3a^2 - a^2} = \frac{a^2}{12} \cdot a\sqrt{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}\]

• Lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có chiều cao \(h = AA' = 5\text{ cm}\).
• Diện tích tam giác đáy \(ABC\): \[S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \widehat{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 \cdot \sin 150^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\text{ (cm}^2\text{)}\]
• Thể tích của khối lăng trụ: \[V = S_{\Delta ABC} \cdot h = 3 \cdot 5 = 15\text{ (cm}^3\text{)}\]

Vậy thể tích của khối lăng trụ bằng \(15\text{ cm}^3\).

Đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a = 6\text{ cm}\). Diện tích đáy: \(S_{ABCD} = 6^2 = 36\text{ cm}^2\).

Gọi \(O = AC \cap BD\) là tâm của hình vuông \(ABCD\). Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \perp (ABCD)\).

a) Cạnh bên tạo với mặt đáy góc \(60^\circ\):

• Hình chiếu của \(SA\) trên mặt đáy \((ABCD)\) là \(AO\), do đó góc giữa cạnh bên \(SA\) và mặt đáy là góc \(\widehat{SAO} = 60^\circ\).
• Đường chéo hình vuông \(AC = 6\sqrt{2}\text{ cm} \Rightarrow AO = \frac{AC}{2} = 3\sqrt{2}\text{ cm}\).
• Trong tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\): \[h = SO = AO \cdot \tan 60^\circ = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6}\text{ (cm)}\]
• Thể tích khối chóp: \[V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{6} = 36\sqrt{6}\text{ (cm}^3\text{)}\]

b) Mặt bên tạo với mặt đáy góc \(45^\circ\):

• Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(CD\).
  Ta có \(OM \perp CD\) và \(SM \perp CD\) (do \(\Delta SCD\) cân tại \(S\)).
  Góc giữa mặt bên \((SCD)\) và mặt đáy \((ABCD)\) là góc \(\widehat{SMO} = 45^\circ\).
• Độ dài \(OM = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ cm}\).
• Trong tam giác \(SMO\) vuông tại \(O\): \[h = SO = OM \cdot \tan 45^\circ = 3 \cdot 1 = 3\text{ (cm)}\]
• Thể tích khối chóp: \[V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3 = 36\text{ (cm}^3\text{)}\]

• Đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) có diện tích: \(S_{\Delta ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
• Vì \(A'A = A'B = A'C = b\) nên hình chiếu vuông góc của đỉnh \(A'\) trên mặt phẳng đáy \((ABC)\) chính là trọng tâm \(O\) của tam giác đều \(ABC\).
  Do đó, chiều cao lăng trụ là đoạn thẳng \(A'O \perp (ABC)\).
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\): \(AO = \frac{a\sqrt{3}}{3}\).
• Xét tam giác \(A'OA\) vuông tại \(O\): \[h = A'O = \sqrt{A'A^2 - AO^2} = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}}\]
• Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\): \[V = S_{\Delta ABC} \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}} = \frac{a^2}{4} \sqrt{3b^2 - a^2}\]

a) Giải thích dạng hình chóp cụt:

Sau khi gập và hàn các mép lại, đáy dưới của thùng là hình vuông \(ABCD\) cạnh \(3\text{ dm}\), miệng trên của thùng là hình vuông \(A'B'C'D'\) lớn hơn song song với đáy dưới. Các mặt bên là các hình thang cân bằng nhau. Do đó, chiếc thùng có dạng hình chóp cụt đều.

b) Tính cạnh bên của thùng (đoạn \(AA'\)):

• Theo kích thước trên tấm tôn ban đầu: Cạnh tấm tôn lớn bằng \(8\text{ dm}\), cạnh đáy dưới \(ABCD\) bằng \(3\text{ dm}\).
• Đoạn góc cắt đi theo phương đường chéo có các cạnh vuông góc bằng \(1\text{ dm}\).
  Độ dài cạnh bên \(AA'\) của thùng bằng đường chéo của hình vuông cạnh \(1\text{ dm}\) ở góc bị cắt: \[AA' = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\text{ (dm)}\]

c) Tính dung tích lớn nhất của thùng (lít nước):

• Đáy nhỏ hình vuông \(ABCD\) có cạnh \(a = 3\text{ dm} \Rightarrow S_1 = 3^2 = 9\text{ dm}^2\).
• Đáy lớn hình vuông \(A'B'C'D'\) có cạnh \(a' = 8 - 2 \cdot 1 = 6\text{ dm} \Rightarrow S_2 = 6^2 = 36\text{ dm}^2\).
• Tính chiều cao \(h\) của hình chóp cụt đều:
  Gọi \(O, O'\) lần lượt là tâm của hai đáy \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\).
  \(AO = \frac{3\sqrt{2}}{2}\text{ dm}\), \(A'O' = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\text{ dm}\).
  Kẻ \(AH \perp A'O'\) tại \(H\) trong mặt phẳng chứa đường chéo. Ta có \(O'H = AO = \frac{3\sqrt{2}}{2}\text{ dm}\), suy ra: \[A'H = A'O' - O'H = 3\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\text{ dm}\]
  Chiều cao hình chóp cụt: \[h = AH = \sqrt{AA'^2 - A'H^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{2 - \frac{18}{4}} \quad \text{(Xét theo mô hình hình học chính xác của góc gấp).}\]
• Áp dụng công thức thể tích hình chóp cụt: \[V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})\] đổi sang đơn vị \(\text{dm}^3\) (tương ứng với lít nước).