Câu 1. Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((P)\) được định nghĩa là:
Giải thích: Theo định nghĩa, nếu \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên mặt phẳng \((P)\) thì độ dài đoạn thẳng \(AH\) được gọi là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((P)\).
Câu 2. Cho đường thẳng \(\Delta\) song song với mặt phẳng \((P)\). Khoảng cách giữa \(\Delta\) và \((P)\) được tính bằng:
Giải thích: Khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta\) song song với mặt phẳng \((P)\) là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên \(\Delta\) đến mặt phẳng \((P)\).
Câu 3. Cho hai mặt phẳng song song \((P)\) và \((Q)\). Khẳng định nào sau đây là đúng về khoảng cách giữa \((P)\) và \((Q)\)?
Giải thích: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Câu 4. Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\). Đoạn vuông góc chung của \(a\) và \(b\) là đoạn thẳng \(IJ\) có tính chất:
Giải thích: Đoạn thẳng nối hai điểm trên hai đường thẳng chéo nhau và cùng vuông góc với cả hai đường thẳng đó được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Câu 5. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \perp (ABCD)\) và \(SA = a\). Khoảng cách từ điểm \(S\) đến mặt phẳng \((ABCD)\) bằng:
Giải thích: Vì \(SA \perp (ABCD)\) tại \(A\) nên hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \((ABCD)\) chính là điểm \(A\). Khoảng cách \(d(S, (ABCD)) = SA = a\).
Câu 6. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \perp (ABC)\) và tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\) là đoạn thẳng nào?
Giải thích: Ta có \(BC \perp AB\) và \(BC \perp SA \Rightarrow BC \perp (SAB) \Rightarrow (SBC) \perp (SAB)\) theo giao tuyến \(SB\). Kẻ \(AH \perp SB\) tại \(H\), suy ra \(AH \perp (SBC)\). Vậy khoảng cách từ \(A\) đến \((SBC)\) là độ dài đoạn \(AH\).
Câu 7. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA \perp (ABC)\) và \(SA = a\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(BC\) bằng:
Giải thích: Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Do tam giác \(ABC\) đều nên \(AM \perp BC\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(BC\) chính là độ dài đường cao \(AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
Câu 8. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(AA'\) và \(BD\) bằng:
Giải thích:
Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) trong hình vuông đáy \(ABCD\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AO \perp BD\).
Lại có \(AA' \perp (ABCD) \Rightarrow AA' \perp AO\).
Do đó đoạn thẳng \(AO\) vừa vuông góc với \(AA'\), vừa vuông góc với \(BD\), nên \(AO\) chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AA'\) và \(BD\).
Khoảng cách giữa chúng là \(d(AA', BD) = AO = \frac{1}{2}AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Câu 9. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a, AD = a\sqrt{3}\), \(SA \perp (ABCD)\) và \(SA = a\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((SBD)\) bằng:
Giải thích:
Kẻ \(AK \perp BD\) tại \(K\). Do \(SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp BD\), suy ra \(BD \perp (SAK)\).
Kẻ \(AH \perp SK\) tại \(H\), ta có \(AH \perp (SBD)\). Khoảng cách từ \(A\) đến \((SBD)\) chính là \(AH\).
Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\): \(\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AD^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{3a^2} = \frac{4}{3a^2}\).
Xét tam giác \(SAK\) vuông tại \(A\): \(\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AK^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{7}{3a^2} \Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{a\sqrt{21}}{7}\).
Câu 10 Thực tế. Một cột tháp truyền hình thẳng đứng \(SA\) cao \(40\text{ m}\) dựng vuông góc trên mặt đất bằng phẳng \((P)\). Người ta kéo một sợi dây cáp cố định từ đỉnh tháp \(S\) xuống mặt đất gắn tại vị trí điểm \(B\). Biết độ dài sợi dây cáp \(SB = 50\text{ m}\). Khoảng cách từ chân tháp \(A\) đến điểm buộc dây cáp \(B\) trên mặt đất bằng bao nhiêu?
Giải thích:
Cột tháp truyền hình vuông góc với mặt đất nên \(SA \perp AB\) tại \(A\), tạo thành tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\).
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\):
\(AB = \sqrt{SB^2 - SA^2} = \sqrt{50^2 - 40^2} = \sqrt{2500 - 1600} = \sqrt{900} = 30\text{ m}\).
Vậy khoảng cách từ chân tháp đến vị trí buộc dây cáp là \(30\text{ m}\).