📐 BÀI HỌC TOÁN 11: KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
Sách giáo khoa Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Chương IX)
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, một mặt phẳng
Cho điểm \(A\) và đường thẳng \(\Delta\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(\Delta\). Độ dài đoạn thẳng \(AH\) được gọi là khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\Delta\), kí hiệu là \(d(A, \Delta)\).
\[ d(A, \Delta) = AH \quad (H \in \Delta, AH \perp \Delta) \]Cho điểm \(A\) và mặt phẳng \((P)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \((P)\). Độ dài đoạn thẳng \(AH\) được gọi là khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((P)\), kí hiệu là \(d(A, (P))\).
\[ d(A, (P)) = AH \quad (H \in (P), AH \perp (P)) \]2. Khoảng cách giữa các đối tượng song song
Cho đường thẳng \(\Delta\) song song với mặt phẳng \((P)\). Khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên \(\Delta\) đến mặt phẳng \((P)\) được gọi là khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta\) và mặt phẳng \((P)\).
\[ d(\Delta, (P)) = d(A, (P)) \quad (\text{với } A \text{ là điểm bất kỳ thuộc } \Delta) \]Khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia được gọi là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
\[ d((P), (Q)) = d(A, (Q)) \quad (\text{với } A \text{ là điểm bất kỳ thuộc } (P)) \]3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Đường thẳng \(\Delta\) cắt cả hai đường thẳng chéo nhau \(a, b\) và vuông góc với cả hai đường thẳng đó được gọi là đường vuông góc chung của \(a\) và \(b\).
Nếu \(\Delta\) cắt \(a, b\) lần lượt tại \(M, N\) thì đoạn thẳng \(MN\) được gọi là đoạn vuông góc chung của \(a\) và \(b\). Độ dài đoạn \(MN\) chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\), kí hiệu \(d(a, b)\).
- Cách 1 (Trường hợp \(a \perp b\)): Dựng mặt phẳng \((P)\) chứa \(b\) và vuông góc với \(a\) tại \(A\). Từ \(A\) dựng \(AH \perp b\) tại \(H\). Khi đó \(d(a, b) = AH\).
- Cách 2 (Trường hợp tổng quát): Dựng mặt phẳng \((P)\) chứa \(b\) và song song với \(a\). Khi đó: \[ d(a, b) = d(a, (P)) = d(A, (P)) \quad (A \in a) \]
- Cách 3 (Sử dụng mặt phẳng song song): Dựng hai mặt phẳng song song \((P)\) và \((Q)\) lần lượt chứa \(a\) và \(b\). Khi đó \(d(a, b) = d((P), (Q))\).
4. Phương pháp đổi điểm & Phương pháp thể tích
Cho đường thẳng \(AB\) cắt mặt phẳng \((P)\) tại điểm \(I\). Khi đó tỷ số khoảng cách từ \(A\) và \(B\) đến \((P)\) là:
\[ \displaystyle\frac{d(A, (P))}{d(B, (P))} = \displaystyle\frac{AI}{BI} \]Trường hợp đặc biệt: Nếu \(AB \parallel (P)\) thì \(d(A, (P)) = d(B, (P))\).
Dựa trên công thức thể tích khối chóp \(V = \displaystyle\frac{1}{3} S_{\text{đáy}} \cdot h\), ta có thể tính chiều cao (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy) theo công thức:
\[ h = d(S, (ABC)) = \displaystyle\frac{3V_{S.ABC}}{S_{\Delta ABC}} \]5. Ví dụ minh họa chi tiết (SGK Kết nối tri thức)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = a\), \(BC = a\sqrt{3}\). Cạnh bên \(SA \perp (ABC)\) và \(SA = a\sqrt{2}\). Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\).
• Do \(SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp BC\).
• Ta có \(BC \perp AB\) (giả thiết) và \(BC \perp SA \Rightarrow BC \perp (SAB)\).
• Trong mặt phẳng \((SAB)\), kẻ \(AH \perp SB\) tại \(H\).
• Do \(BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp AH\).
• Từ \(AH \perp SB\) và \(AH \perp BC \Rightarrow AH \perp (SBC)\) tại \(H\).
Do đó, \(d(A, (SBC)) = AH\).
Xét tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\):
\[ \displaystyle\frac{1}{AH^2} = \displaystyle\frac{1}{SA^2} + \displaystyle\frac{1}{AB^2} = \displaystyle\frac{1}{(a\sqrt{2})^2} + \displaystyle\frac{1}{a^2} = \displaystyle\frac{1}{2a^2} + \displaystyle\frac{1}{a^2} = \displaystyle\frac{3}{2a^2} \] \[ \Rightarrow AH^2 = \displaystyle\frac{2a^2}{3} \Rightarrow AH = \displaystyle\frac{a\sqrt{6}}{3} \]Vậy \(d(A, (SBC)) = \displaystyle\frac{a\sqrt{6}}{3}\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(BD\) và \(A'C'\).
• Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(O'\) là giao điểm của \(A'C'\) và \(B'D'\).
• Ta có \(BD \subset (ABCD)\) và \(A'C' \subset (A'B'C'D')\).
• Hai mặt phẳng \((ABCD)\) và \((A'B'C'D')\) song song với nhau.
• Đoạn thẳng \(OO'\) kết nối tâm hai đáy vuông góc với cả hai mặt phẳng đáy \((ABCD)\) và \((A'B'C'D')\).
• Do đó \(OO' \perp BD\) và \(OO' \perp A'C'\), nên \(OO'\) là đoạn vuông góc chung của \(BD\) và \(A'C'\).
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(BD\) và \(A'C'\) bằng độ dài đoạn \(OO'\):
\[ d(BD, A'C') = OO' = AA' = a \]Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \perp (ABCD)\) và \(SA = a\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(BD\) và \(SC\).
• Gọi \(O = AC \cap BD\). Ta có \(BD \perp AC\) và \(BD \perp SA \Rightarrow BD \perp (SAC)\).
• Qua \(C\) kẻ đường thẳng \(d \parallel BD\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa \(SC\) và \(d\). Khi đó \(BD \parallel (P)\).
• Do đó \(d(BD, SC) = d(BD, (P)) = d(O, (P))\).
• Do \(A, O, C\) thẳng hàng và \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(d(O, (P)) = \displaystyle\frac{1}{2} d(A, (P))\).
• Trong \((ABCD)\), kẻ \(AK \perp d\) tại \(K\). Trong \((SAK)\), kẻ \(AH \perp SK\) tại \(H\).
• Dễ dàng chứng minh \(AH \perp (P) \Rightarrow d(A, (P)) = AH\).
• Vì \(BD \parallel d\) và \(AC \perp BD \Rightarrow AC \perp d \Rightarrow K \equiv C\). Tức là \(AK = AC = a\sqrt{2}\).
• Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\):
\[ \displaystyle\frac{1}{AH^2} = \displaystyle\frac{1}{SA^2} + \displaystyle\frac{1}{AC^2} = \displaystyle\frac{1}{a^2} + \displaystyle\frac{1}{(a\sqrt{2})^2} = \displaystyle\frac{3}{2a^2} \Rightarrow AH = \displaystyle\frac{a\sqrt{6}}{3} \]• Vậy \(d(BD, SC) = \displaystyle\frac{1}{2} AH = \displaystyle\frac{a\sqrt{6}}{6}\).
6. Bảng tổng kết công thức & Bài tập tự luyện
| Loại Khoảng Cách | Kí Hiệu | Cách Xác Định / Công Thức |
|---|---|---|
| Từ điểm đến đường thẳng | \(d(A, \Delta)\) | Độ dài đoạn vuông góc \(AH \perp \Delta\) (\(H \in \Delta\)) |
| Từ điểm đến mặt phẳng | \(d(A, (P))\) | Độ dài đoạn vuông góc \(AH \perp (P)\) (\(H \in (P)\)) |
| Đường song song mặt phẳng | \(d(a, (P))\) | Lấy \(A \in a\), đưa về \(d(A, (P))\) với \(a \parallel (P)\) |
| Hai mặt phẳng song song | \(d((P), (Q))\) | Lấy \(A \in (P)\), đưa về \(d(A, (Q))\) với \((P) \parallel (Q)\) |
| Hai đường chéo nhau | \(d(a, b)\) | Đoạn vuông góc chung hoặc \(d(a, (P))\) với \(b \subset (P) \parallel a\) |
Bài 1: Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA \perp (ABC)\) và \(SA = a\).
a) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\).
b) Tính khoảng cách từ trung điểm \(M\) của \(AB\) đến mặt phẳng \((SBC)\).
Bài 2: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tâm \(O\). Cạnh bên \(SA \perp (ABCD)\) và \(SA = a\sqrt{3}\).
a) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((SBD)\).
b) Tính khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \((SCD)\).
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(AB = AC = a\), cạnh bên \(AA' = a\sqrt{2}\).
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\).
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(AB'\) và \(BC\).