BÀI 26: KHOẢNG CÁCH
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

a) Tính chiều cao của hình chóp:

• Gọi \(H\) là trung điểm của cạnh \(AD\). Vì tam giác \(SAD\) đều cạnh \(a\) nên \(SH \perp AD\) và \(SH = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
• Do hai mặt phẳng \((SAD) \perp (ABCD)\) theo giao tuyến \(AD\) và \(SH \subset (SAD), SH \perp AD\), suy ra \(SH \perp (ABCD)\).
• Vậy chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng \(SH\), có độ dài bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

b) Tính khoảng cách giữa \(BC\) và \((SAD)\):

• Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(BC \parallel AD\).
• Mà \(AD \subset (SAD)\) nên đường thẳng \(BC \parallel (SAD)\).
• Do đó: \(d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD)) = AB = a\) (vì \(AB \perp AD\) và \(AB \perp SH \Rightarrow AB \perp (SAD)\)).

Vậy khoảng cách giữa \(BC\) và \((SAD)\) bằng \(a\).

c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa \(AB\) và \(SD\):

• Ta có \(AB \perp AD\) và \(AB \perp SH \Rightarrow AB \perp (SAD)\).
• Vì \(SD \subset (SAD)\) nên \(AB \perp SD\).
• Trong mặt phẳng \((SAD)\), kẻ \(HK \perp SD\) tại \(K\) (\(K \in SD\)).
• Vì \(AB \perp (SAD)\) nên \(AB \perp HK\). Kẻ qua \(K\) đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(SA\) hoặc dựng đoạn thẳng tương đương. Hoặc xét đoạn vuông góc chung từ \(A\) đến \(SD\):
  Tam giác \(SAD\) đều nên góc \(\widehat{SDA} = 60^\circ\).
  Trong tam giác vuông \(HKD\) tại \(K\), có \(HD = \frac{a}{2}\): \[HK = HD \cdot \sin 60^\circ = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}\]
• Đoạn vuông góc chung nối từ điểm trên \(AB\) vuông góc với \(SD\) có độ dài bằng \(HK\).

Vậy khoảng cách giữa \(AB\) và \(SD\) bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{4}\).

a) Tính khoảng cách giữa \(CC'\) và \((BB'D'D)\):

• Vì \(CC' \parallel BB'\) và \(BB' \subset (BB'D'D)\) nên \(CC' \parallel (BB'D'D)\).
• Khoảng cách giữa \(CC'\) và \((BB'D'D)\) bằng khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \((BB'D'D)\), cũng chính là khoảng cách từ \(C\) đến giao tuyến \(BD\) trong mặt phẳng đáy \((ABCD)\).
• Kẻ \(CH \perp BD\) tại \(H\) (\(H \in BD\)). Vì \(BB' \perp (ABCD) \Rightarrow BB' \perp CH\), do đó \(CH \perp (BB'D'D)\).
• Trong tam giác \(BCD\) vuông tại \(C\) với \(CD = AB = b\) và \(BC = c\): \[\frac{1}{CH^2} = \frac{1}{CD^2} + \frac{1}{BC^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{b^2 + c^2}{b^2 c^2} \Rightarrow CH = \frac{bc}{\sqrt{b^2 + c^2}}\]

Vậy khoảng cách giữa \(CC'\) và \((BB'D'D)\) bằng \(\frac{bc}{\sqrt{b^2 + c^2}}\).

b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa \(AC\) và \(B'D'\):

• Gọi \(O = AC \cap BD\) và \(O' = A'C' \cap B'D'\).
• Ta có \(AC \subset (ABCD)\) và \(B'D' \subset (A'B'C'D')\). Mặt phẳng \((ABCD) \parallel (A'B'C'D')\).
• Đoạn thẳng \(OO'\) vuông góc với cả hai mặt phẳng đáy, do đó \(OO' \perp AC\) tại \(O\) và \(OO' \perp B'D'\) tại \(O'\).
• Suy ra \(OO'\) chính là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AC\) và \(B'D'\).
• Khoảng cách giữa \(AC\) và \(B'D'\) bằng độ dài đoạn thẳng \(OO' = AA' = a\).

Vậy khoảng cách giữa \(AC\) và \(B'D'\) bằng \(a\).

a) Chứng minh \(MN\) là đường vuông góc chung của \(AB\) và \(CD\):

• Xét tam giác \(ACD\) và tam giác \(BCD\) là hai tam giác đều cạnh \(a\) bằng nhau.
  Đường trung tuyến \(AN\) trong \(\Delta ACD\) và \(BN\) trong \(\Delta BCD\) có độ dài bằng nhau: \(AN = BN = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
• Xét tam giác \(ANB\) có \(AN = BN\), suy ra \(\Delta ANB\) cân tại \(N\).
  Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên đường trung tuyến \(NM\) đồng thời là đường cao, suy ra \(MN \perp AB\).
• Tương tự, xét hai tam giác đều \(ABC\) và \(ABD\) bằng nhau, ta có \(CM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
  Tam giác \(CMD\) cân tại \(M\), có \(N\) là trung điểm của \(CD\) nên đường trung tuyến \(MN\) đồng thời là đường cao, suy ra \(MN \perp CD\).

Do \(MN \perp AB\) và \(MN \perp CD\) nên \(MN\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AB\) và \(CD\).

b) Chứng minh các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau:

• Cặp \((AB, CD)\): Ta có \(CD \perp AN\) và \(CD \perp BN \Rightarrow CD \perp (ABN)\). Mà \(AB \subset (ABN)\) nên \(CD \perp AB\).
• Tương tự cho các cặp cạnh đối diện còn lại \((AC, BD)\) và \((AD, BC)\): Do tính chất đối xứng của tứ diện đều, chứng minh hoàn toàn tương tự ta có \(AC \perp BD\) và \(AD \perp BC\).

Vậy các cặp cạnh đối diện trong tứ diện đều \(ABCD\) đều vuông góc với nhau.

a) Chứng minh \((D'AC) \parallel (BC'A')\) và \(DB' \perp\) cả hai mặt phẳng:

• Ta có \(AC \parallel A'C'\) (do \(AC C'A'\) là hình chữ nhật) \(\Rightarrow AC \parallel (BC'A')\).
• Lại có \(AD' \parallel BC'\) (do \(ADC'B\) là hình chữ nhật) \(\Rightarrow AD' \parallel (BC'A')\).
• Trong \((D'AC)\), hai đường thẳng \(AC\) và \(AD'\) cắt nhau tại \(A\). Do đó \((D'AC) \parallel (BC'A')\).
• Chứng minh \(DB' \perp (D'AC)\):
  - Ta có \(AC \perp BD\) và \(AC \perp DD' \Rightarrow AC \perp (BDD'B') \Rightarrow AC \perp DB'\).
  - Tương tự \(D'A \perp A'D\) và \(D'A \perp AB \Rightarrow D'A \perp (A'B CD') \Rightarrow D'A \perp DB'\).
  - Vì \(AC\) và \(D'A\) cắt nhau trong \((D'AC)\), suy ra \(DB' \perp (D'AC)\).
• Do \((D'AC) \parallel (BC'A')\) nên \(DB'\) cũng vuông góc với \((BC'A')\).

b) Xác định giao điểm \(E, F\) và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng:

• Giao điểm \(E\) của \(DB'\) với \((D'AC)\) và \(F\) của \(DB'\) với \((BC'A')\) chia đoạn chéo chính \(DB'\) thành 3 phần bằng nhau: \(DE = EF = FB'\).
• Độ dài đường chéo chính của hình lập phương là \(DB' = a\sqrt{3}\).
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \((D'AC)\) và \((BC'A')\) chính là độ dài đoạn thẳng \(EF\): \[d((D'AC), (BC'A')) = EF = \frac{1}{3} DB' = \frac{a\sqrt{3}}{3}\]

• Mô hình hóa bài toán: Ba chân giá đỡ tạo thành hình chóp đều \(S.ABC\) có đỉnh \(S\) là điểm nối 3 chân, đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a = 110\text{ cm}\), các cạnh bên \(SA = SB = SC = b = 129\text{ cm}\).
• Gọi \(H\) là tâm của tam giác đều \(ABC\). Chiều cao của giá đỡ chính là độ dài đoạn thẳng \(SH\).
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(ABC\) là: \[R = AH = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{110\sqrt{3}}{3}\text{ (cm)}\]
• Xét tam giác \(SHA\) vuông tại \(H\): \[SH = \sqrt{SA^2 - AH^2} = \sqrt{129^2 - \left(\frac{110\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{16641 - \frac{36300}{3}} = \sqrt{16641 - 12100} = \sqrt{4541} \approx 67,39\text{ (cm)}\]

Vậy chiều cao của giá đỡ khoảng \(67,39\text{ cm}\).

Giải thích:

• Mặt nước và đáy bể là hai mặt phẳng song song nằm ngang. Khoảng cách giữa mặt nước và đáy bể chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song này.
• Khi thả quả dọi chạm đáy bể và dây dọi căng, dưới tác dụng của trọng lực, đoạn dây dọi nằm theo phương thẳng đứng.
• Phương thẳng đứng vuông góc với cả hai mặt phẳng nằm ngang (mặt nước và đáy bể).
• Do đó, đoạn dây dọi nằm trong bể nước chính là đoạn vuông góc chung nối giữa mặt nước và đáy bể. Độ dài của đoạn dây dọi này bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng, tức là bằng độ sâu của bể nước.