Câu 1. Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng cắt nhau vuông góc với nhau là:
Giải thích: Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng \(90^\circ\).
Câu 2. Khẳng định nào sau đây là tiêu chuẩn điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc?
Giải thích: Định lý 1 (Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc): Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
Câu 3. Cho hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) vuông góc với nhau theo giao tuyến \(c\). Nếu đường thẳng \(a\) nằm trong \((P)\) và vuông góc với giao tuyến \(c\) thì:
Giải thích: Định lý 2 (Tính chất hai mặt phẳng vuông góc): Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
Câu 4. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \perp (ABC)\). Mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
Giải thích: Vì \(SA \perp (ABC)\) và đường thẳng \(SA\) nằm trong mặt phẳng \((SAB)\) nên theo điều kiện hai mặt phẳng vuông góc, ta có \((SAB) \perp (ABC)\).
Câu 5. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông và \(SA \perp (ABCD)\). Khẳng định nào sau đây **sai**?
Giải thích:
- \((SAC) \perp (ABCD)\) đúng vì chứa \(SA \perp (ABCD)\).
- \((SAB) \perp (SBC)\) đúng vì \(BC \perp AB\) và \(BC \perp SA \Rightarrow BC \perp (SAB)\).
- \((SAC) \perp (SBD)\) đúng vì \(BD \perp AC\) và \(BD \perp SA \Rightarrow BD \perp (SAC)\).
- \((SAD) \perp (SBC)\) sai vì hai mặt phẳng này song song theo đường giao tuyến đi qua \(S\) song song với \(AD\) và \(BC\), góc giữa chúng không bằng \(90^\circ\).
Câu 6. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có:
Giải thích: Theo định nghĩa, hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với hai mặt đáy.
Câu 7. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \perp (ABC)\) và tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Có bao nhiêu mặt của hình chóp \(S.ABC\) là tam giác vuông?
Giải thích:
- \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) (giả thiết).
- \(SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp AB\) và \(SA \perp AC \Rightarrow \Delta SAB\) vuông tại \(A\) và \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\).
- \(BC \perp AB\) và \(BC \perp SA \Rightarrow BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B\).
Vậy cả 4 mặt đều là các tam giác vuông.
Câu 8. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai mặt phẳng \((ABCD)\) và \((A'B'C'D')\) bằng:
Giải thích: Hai mặt phẳng \((ABCD)\) và \((A'B'C'D')\) là hai mặt phẳng song song. Quy ước góc giữa hai mặt phẳng song song bằng \(0^\circ\).
Câu 9. Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có độ dài cạnh đáy bằng \(a\), đường cao \(SO = \frac{a}{2}\) (với \(O\) là tâm đáy \(ABC\)). Tính góc giữa mặt phẳng bên \((SBC)\) và mặt đáy \((ABC)\).
Giải thích:
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) và \(OM = \frac{1}{3}AM = \frac{a\sqrt{3}}{6}\).
Vì \(S.ABC\) là hình chóp đều nên \(SO \perp (ABC)\), do đó \(BC \perp AM\) và \(BC \perp SO \Rightarrow BC \perp (SAM) \Rightarrow BC \perp SM\).
Góc giữa \((SBC)\) và \((ABC)\) là góc \(\widehat{SMO}\).
Xét \(\Delta SMO\) vuông tại \(O\): \(\tan \widehat{SMO} = \frac{SO}{OM} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{SMO} = 60^\circ\).
Câu 10 Thực tế. Hai mái nhà của một ngôi nhà sàn được thiết kế là hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) cắt nhau theo nóc nhà (giao tuyến \(d\)). Để đảm bảo khả năng thoát nước mưa tốt nhất, kiến trúc sư thiết kế sao cho góc nghiêng của mỗi mái nhà so với mặt trần nhà nằm ngang \((R)\) đều bằng \(45^\circ\) và hai mái nhà đối xứng qua mặt phẳng đứng chứa nóc nhà. Hỏi góc tạo bởi hai mái nhà (góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\)) bằng bao nhiêu?
Giải thích:
Xét mặt cắt đứng vuông góc với đường nóc nhà \(d\):
Giả sử cắt mái \((P)\), mái \((Q)\) và mặt trần \((R)\) lần lượt tạo thành tam giác \(ABC\) cân tại đỉnh \(A\) (với \(A\) nằm trên nóc nhà, \(BC\) thuộc trần nhà).
Góc nghiêng của mỗi mái nhà so với trần nhà là \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 45^\circ\).
Suy ra góc ở đỉnh mái nhà \(\widehat{BAC} = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ\).
Vì góc giữa hai mặt phẳng nằm trong khoảng \([0^\circ; 90^\circ]\), góc tạo bởi hai mặt phẳng mái nhà \((P)\) và \((Q)\) chính bằng \(90^\circ\).