📘 BÀI HỌC TOÁN 11: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Chương VIII: Quan hệ vuông góc trong không gian - Kết nối tri thức
1. Góc giữa hai mặt phẳng
a) Định nghĩa
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng \(0^\circ\).
b) Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
Cho hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) cắt nhau theo giao tuyến \(c\):
- Chọn một điểm \(I\) bất kỳ thuộc giao tuyến \(c\).
- Trong \((P)\), kẻ đường thẳng \(a \perp c\) tại \(I\).
- Trong \((Q)\), kẻ đường thẳng \(b \perp c\) tại \(I\).
Góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) chính là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\): \[ \widehat{((P), (Q))} = \widehat{(a, b)} \]
Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai mặt phẳng, ta luôn có: \[ 0^\circ \le \alpha \le 90^\circ \]
2. Góc nhị diện
a) Khái niệm hình nhị diện và góc nhị diện
Hình nhị diện: Là hình gồm hai nửa mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) có chung bờ là đường thẳng \(d\).
- Đường thẳng \(d\) gọi là cạnh của nhị diện.
- Hai nửa mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) gọi là hai mặt của nhị diện.
Kí hiệu: Nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng \((P), (Q)\) có cạnh \(d\) được ký hiệu là \([P, d, Q]\).
Nếu lấy điểm \(A \in (P)\) và \(B \in (Q)\) (không thuộc \(d\)), nhị diện còn được kí hiệu là \([A, d, B]\).
b) Góc phẳng của góc nhị diện
Cách xác định góc phẳng của góc nhị diện \([P, d, Q]\):
- Từ một điểm \(O\) bất kỳ trên cạnh \(d\), vẽ tia \(Ox \subset (P)\) sao cho \(Ox \perp d\).
- Vẽ tia \(Oy \subset (Q)\) sao cho \(Oy \perp d\).
Góc \(\widehat{xOy}\) được gọi là góc phẳng của góc nhị diện \([P, d, Q]\).
- Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn (hoặc góc vuông): \(0^\circ \le \alpha \le 90^\circ\).
- Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\): \(0^\circ \le \text{số đo nhị diện} \le 180^\circ\).
3. Định nghĩa & Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc
a) Định nghĩa
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \(90^\circ\).
Kí hiệu: \((P) \perp (Q)\) hoặc \((Q) \perp (P)\).
b) Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc (Định lý 1)
Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
\[ \begin{cases} a \subset (P) \\ a \perp (Q) \end{cases} \Rightarrow (P) \perp (Q) \]c) Các tính chất cơ bản
Tính chất 1: Nếu hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) vuông góc với nhau thì bất kỳ đường thẳng nào nằm trong \((P)\) vuông góc với giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng \((Q)\).
\[ \begin{cases} (P) \perp (Q) \\ (P) \cap (Q) = c \\ a \subset (P), a \perp c \end{cases} \Rightarrow a \perp (Q) \]Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.
\[ \begin{cases} (P) \perp (R) \\ (Q) \perp (R) \\ (P) \cap (Q) = d \end{cases} \Rightarrow d \perp (R) \]4. Hình lăng trụ đứng và Hình lăng trụ đều
a) Hình lăng trụ đứng
Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy.
Tính chất của lăng trụ đứng:
- Các cạnh bên song song và bằng nhau, độ dài cạnh bên là chiều cao của lăng trụ.
- Các mặt bên là các hình chữ nhật và vuông góc với hai mặt đáy.
b) Hình lăng trụ đều
Định nghĩa: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều (tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều,...).
Ví dụ:
- Lăng trụ tam giác đều: Đáy là tam giác đều, các mặt bên là hình chữ nhật bằng nhau.
- Lăng trụ tứ giác đều: Đáy là hình vuông, các mặt bên là hình chữ nhật bằng nhau.
- Hình hộp đứng: Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
- Hình hộp chữ nhật: Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật (tất cả 6 mặt đều là hình chữ nhật).
- Hình lập phương: Là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau (tất cả 6 mặt đều là hình vuông).
5. Hình chóp đều và Hình chóp cụt đều
a) Hình chóp đều
Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có:
- Đáy là một đa giác đều.
- Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Tính chất của hình chóp đều:
- Các cạnh bên bằng nhau và tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
- Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau.
- Góc giữa các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau.
b) Hình chóp cụt đều
Định nghĩa: Cho hình chóp đều. Bị cắt bởi một mặt phẳng song song với đáy, phần hình nằm giữa mặt phẳng đó và mặt đáy của hình chóp đều gọi là hình chóp cụt đều.
Tính chất của hình chóp cụt đều:
- Hai đáy là hai đa giác đều đồng dạng và nằm trên hai mặt phẳng song song.
- Đường nối tâm hai đáy vuông góc với hai đáy và có độ dài bằng chiều cao của hình chóp cụt đều.
- Các mặt bên là các hình thang cân bằng nhau.
6. Ví dụ minh họa
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, cạnh bên \(SA \perp (ABCD)\).
a) Chứng minh rằng \((SAB) \perp (SAD)\).
b) Chứng minh rằng \((SBD) \perp (SAC)\).
a) Chứng minh \((SAB) \perp (SAD)\):
• Ta có \(SA \perp (ABCD)\) nên \(SA \perp AB\).
• Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB \perp AD\).
• Suy ra \(AB \perp (SAD)\) (vì \(AB \perp SA\) và \(AB \perp AD\)).
• Vì \(AB \subset (SAB)\) và \(AB \perp (SAD)\) nên theo định lý 1, ta có \((SAB) \perp (SAD)\).
b) Chứng minh \((SBD) \perp (SAC)\):
• Do \(ABCD\) là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc: \(BD \perp AC\).
• Vì \(SA \perp (ABCD)\) nên \(SA \perp BD\).
• Ta có: \[ \begin{cases} BD \perp AC \\ BD \perp SA \\ AC, SA \subset (SAC); \, AC \cap SA = \{A\} \end{cases} \Rightarrow BD \perp (SAC) \]
• Vì \(BD \subset (SBD)\) nên \((SBD) \perp (SAC)\).
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\), đường cao \(SO = \frac{a\sqrt{3}}{6}\). Tính góc phẳng của góc nhị diện \([S, BC, A]\).
• Vì \(S.ABC\) là hình chóp đều nên \(O\) là tâm tam giác đều \(ABC\).
• Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó \(AM \perp BC\).
• Vì \(SO \perp (ABC) \Rightarrow SO \perp BC\). Do đó \(BC \perp (SAM) \Rightarrow BC \perp SM\).
• Hai nửa mặt phẳng \((SBC)\) và \((ABC)\) cắt nhau theo giao tuyến \(BC\). Ta có \(SM \perp BC\) và \(AM \perp BC\).
• Do đó, góc phẳng của góc nhị diện \([S, BC, A]\) chính là góc \(\widehat{SMA}\).
• Xét tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\): đường trung tuyến \(AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
• Vì \(O\) là trọng tâm nên \(OM = \frac{1}{3} AM = \frac{a\sqrt{3}}{6}\).
• Xét tam giác \(SOM\) vuông tại \(O\): \[ \tan \widehat{SMA} = \frac{SO}{OM} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}} = 1 \Rightarrow \widehat{SMA} = 45^\circ \] Vậy góc phẳng nhị diện \([S, BC, A]\) bằng \(45^\circ\).
7. Luyện tập tự giải
a) Chứng minh \(SO \perp (ABCD)\).
b) Chứng minh \((SAC) \perp (SBD)\).
a) Chứng minh rằng \((ABB'A') \perp (BCC'B')\).
b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Chứng minh \((B'AC) \perp (BB'M)\).
a) Tính chiều cao của hình chóp đều.
b) Tính số đo góc phẳng của góc nhị diện \([S, CD, A]\).
8. Vận dụng thực tế
Khi dựng cửa, trục bản lề cửa luôn được lắp dựng vuông góc với mặt sàn. Do đó, dù cánh cửa được mở ra ở bất kỳ góc độ nào thì mặt phẳng cánh cửa luôn vuông góc với mặt phẳng sàn nhà.
Các Kim tự tháp Ai Cập có dạng hình chóp tứ giác đều. Nhờ tính chất hình chóp đều (chân đường cao rơi vào đúng tâm đáy), trọng lực được phân bố đều ra bốn phía, giúp công trình đứng vững hàng ngàn năm.
Chao đèn xoe rộng hay các xô xách nước cỡ lớn thường được thiết kế dưới dạng hình chóp cụt đều hoặc hình nón cụt. Thiết kế hình chóp cụt đều giúp tối ưu hóa diện tích đáy và dễ dàng xếp chồng lên nhau khi vận chuyển.
9. Ghi nhớ & Mẹo giải nhanh
- B1 (Xác định giao tuyến): Tìm đường thẳng giao tuyến \(c = (P) \cap (Q)\).
- B2 (Tìm hai đường vuông góc): Tìm/dựng hai tia/đường thẳng \(a \subset (P)\) và \(b \subset (Q)\) cùng vuông góc với giao tuyến \(c\) tại điểm \(I \in c\).
- B3 (Kết luận góc): Góc phẳng của nhị diện là góc \(\widehat{(a, b)}\).
- Lăng trụ đứng / Lăng trụ đều: Đường cao chính là độ dài cạnh bên.
- Hình chóp đều: Đường cao nối từ đỉnh \(S\) tới tâm đường tròn ngoại tiếp đáy \(O\).
- Chóp có 2 mặt bên cùng vuông góc đáy: Đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên đó.