BÀI 25: HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

a) Chứng minh các mặt phẳng vuông góc:

• Vì \(SA \perp (ABC)\) và \(SA \subset (SAB)\) nên \((SAB) \perp (ABC)\).
• Mặt khác, do \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\) nên \(AH \perp BC\).
• Lại có \(SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp BC\).
• Suy ra \(BC \perp (SAH)\) (vì \(BC \perp AH\) và \(BC \perp SA\)).
• Vì \(BC \subset (SBC)\) và \(BC \perp (SAH)\), suy ra \((SAH) \perp (SBC)\).

b) Tính số đo của góc nhị diện \([S, BC, A]\):

• Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((ABC)\) là đường thẳng \(BC\).
• Ta có \(AH \perp BC\) (trong \((ABC)\)) và \(BC \perp (SAH) \Rightarrow SH \perp BC\) (trong \((SBC)\)).
• Do đó, góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \([S, BC, A]\) chính là góc \(\widehat{SHA}\).
• Trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(\widehat{ABC} = 30^\circ\) và \(AC = a\): \[AB = \frac{AC}{\tan 30^\circ} = \frac{a}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = a\sqrt{3}\]
• Tính đường cao \(AH\) của tam giác vuông \(ABC\): \[\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AB^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{4}{3a^2} \Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}\]
• Xét tam giác \(SAH\) vuông tại \(A\) (do \(SA \perp AH\)): \[\tan \widehat{SHA} = \frac{SA}{AH} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = 1 \Rightarrow \widehat{SHA} = 45^\circ\]

Vậy số đo của góc nhị diện \([S, BC, A]\) bằng \(45^\circ\).

a) Độ dài đường chéo của hình lập phương:

Đường chéo \(AC' = \sqrt{AB^2 + AD^2 + AA'^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}\).

b) Chứng minh \((ACC'A') \perp (BDD'B')\):

• Vì \(ABCD\) là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc: \(AC \perp BD\).
• Lại có \(DD' \perp (ABCD) \Rightarrow DD' \perp AC\).
• Suy ra \(AC \perp (BDD'B')\) (vì \(AC \perp BD\) và \(AC \perp DD'\)).
• Do \(AC \subset (ACC'A')\) nên \((ACC'A') \perp (BDD'B')\).

c) Góc nhị diện và tính số đo:

• Hai mặt phẳng \((CBD)\) (chính là \((ABCD)\)) và \((C'BD)\) có giao tuyến là \(BD\).
  Trong \((ABCD)\), do \(ABCD\) là hình vuông nên \(CO \perp BD\) tại \(O\).
  Vì \(C'C \perp (ABCD)\) nên \(C'O \perp BD\) tại \(O\).
  Do đó \(\widehat{COC'}\) là góc phẳng của góc nhị diện \([C, BD, C']\).
• Tính số đo góc nhị diện \([C, BD, C']\):
  Ta có \(CC' = a\), đường chéo \(AC = a\sqrt{2} \Rightarrow CO = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).
  Trong tam giác \(COC'\) vuông tại \(C\): \[\tan \widehat{COC'} = \frac{CC'}{CO} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} \Rightarrow \widehat{COC'} \approx 54,74^\circ \text{ (hay } 54^\circ 44'\text{)}\]
• Tính số đo góc nhị diện \([A, BD, C']\):
  Góc phẳng của góc nhị diện \([A, BD, C']\) là góc \(\widehat{AOC'}\).
  Vì \(A, O, C\) thẳng hàng nên \(\widehat{AOC'} + \widehat{COC'} = 180^\circ\).
  Suy ra \(\widehat{AOC'} = 180^\circ - \widehat{COC'} \approx 180^\circ - 54,74^\circ = 125,26^\circ\) (hay \(125^\circ 16'\)).

a) Chứng minh \((BDD'B') \perp (ABCD)\):

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên các cạnh bên vuông góc với đáy: \(BB' \perp (ABCD)\).

Mà \(BB' \subset (BDD'B')\), suy ra \((BDD'B') \perp (ABCD)\).

b) Xác định hình chiếu của \(AC'\) trên mặt phẳng \((ABCD)\):

• Điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \((ABCD)\) nên hình chiếu của \(A\) trên \((ABCD)\) là chính nó (\(A\)).
• Vì \(C'C \perp (ABCD)\) tại \(C\) nên hình chiếu của \(C'\) trên \((ABCD)\) là điểm \(C\).

Vậy hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng \(AC'\) trên mặt phẳng \((ABCD)\) là đoạn thẳng \(AC\).

c) Tính \(AC'\):

Áp dụng công thức tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật:

Gọi \(O\) là trọng tâm của tam giác đều \(ABC\). Vì \(S.ABC\) là hình chóp đều nên \(SO \perp (ABC)\).

a) Tính \(\sin\) của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy:

• Hình chiếu của cạnh bên \(SA\) trên \((ABC)\) là \(AO\), do đó góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc \(\widehat{SAO}\).
• Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên độ dài đường trung tuyến \(AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
  Độ dài \(AO = \frac{2}{3} AM = \frac{a\sqrt{3}}{3}\).
• Trong tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\): \[SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}}\]
• \(\sin \widehat{SAO} = \frac{SO}{SA} = \frac{\sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}}}{b} = \sqrt{1 - \frac{a^2}{3b^2}}\).

b) Tính \(\tan\) của góc giữa mặt đáy và mặt bên:

• Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Khi đó \(AM \perp BC\) và \(SM \perp BC\) (do \(\Delta SBC\) cân tại \(S\)).
  Góc giữa mặt bên \((SBC)\) và mặt đáy \((ABC)\) là góc \(\widehat{SMO}\).
• Độ dài \(OM = \frac{1}{3} AM = \frac{a\sqrt{3}}{6}\).
• Trong tam giác \(SMO\) vuông tại \(O\): \[\tan \widehat{SMO} = \frac{SO}{OM} = \frac{\sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}} = \frac{6 \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{3}}}{a\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3b^2 - a^2}}{a}\]

a) Số đo góc nhị diện tạo bởi hai mái nhà:

• Đường nóc nhà (giao tuyến của hai mái) vuông góc với mặt phẳng \((OAB)\) chứa tam giác đầu hồi \(OAB\).
  Do đó, góc phẳng nhị diện tạo bởi hai mái nhà chính là góc \(\widehat{AOB}\) trong tam giác \(OAB\).
• Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(OAB\): \[\cos \widehat{AOB} = \frac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2 \cdot OA \cdot OB} = \frac{2,8^2 + 4^2 - 4,8^2}{2 \times 2,8 \times 4} = \frac{7,84 + 16 - 23,04}{22,4} = \frac{0,8}{22,4} = \frac{1}{28}\] \[\Rightarrow \widehat{AOB} = \arccos\left(\frac{1}{28}\right) \approx 87,95^\circ \text{ (hay } 87^\circ 57'\text{)}\]

b) Chứng minh \((OAB) \perp\) mặt đất:

Đường nóc nhà song song với mặt đất. Vì đường nóc nhà vuông góc với hai cạnh mái đi qua \(O\), suy ra đường nóc nhà vuông góc với mặt phẳng \((OAB)\). Do đường nóc nhà song song với mặt đất nên mặt đất cũng vuông góc với mặt phẳng \((OAB)\), tức là \((OAB)\) vuông góc với mặt đất.

c) Tính góc giữa mái nhà chứa \(OB\) so với mặt đất:

• Vì đường nóc nhà song song với mặt đất nên góc giữa mái nhà (chứa \(OB\)) với mặt đất bằng góc giữa đường thẳng \(OB\) và đường nằm ngang trên mặt đất trong mặt phẳng \((OAB)\).
  Gọi \(\beta\) là góc nghiêng của đường thẳng \(AB\) so với mặt đất nằm ngang. Ta có \(\sin \beta = \frac{0,5}{4,8}\).
• Góc nghiêng của mái nhà chứa \(OB\) so với mặt đất là góc \(\alpha\) thỏa mãn tính toán góc trong tam giác \(OAB\) kết hợp với độ nghiêng của chân mái.

Gọi \(\alpha\) là góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang (\(0^\circ \le \alpha < 90^\circ\)).

Theo đề bài, độ dốc không vượt quá \(\frac{1}{12}\), tức là:

Vì hàm số \(y = \tan \alpha\) đồng biến trên khoảng \([0^\circ; 90^\circ)\), nên:

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, góc \(\alpha\) không vượt quá \(4,76^\circ\).