Câu 1. Số đo của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn nằm trong khoảng nào sau đây?
Giải thích: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng. Nếu đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng, góc bằng \(0^\circ\); nếu vuông góc thì góc bằng \(90^\circ\). Vậy số đo thuộc đoạn \([0^\circ; 90^\circ]\).
Câu 2. Cho đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\). Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) bằng:
Giải thích: Theo quy ước, nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\) thì góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) bằng \(90^\circ\).
Câu 3. Nếu đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \((P)\) thì góc giữa \(d\) và \((P)\) bằng:
Giải thích: Theo định nghĩa, nếu đường thẳng \(d\) song song hoặc nằm trong mặt phẳng \((P)\) thì góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) bằng \(0^\circ\).
Câu 4. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \perp (ABC)\). Hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(SB\) trên mặt phẳng \((ABC)\) là:
Giải thích: Ta có \(S\) chiếu vuông góc lên \((ABC)\) là \(A\) (vì \(SA \perp (ABC)\)), còn \(B\) thuộc \((ABC)\) nên hình chiếu của \(B\) là chính nó. Do đó, hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(SB\) lên \((ABC)\) là đường thẳng \(AB\).
Câu 5. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông và \(SA \perp (ABCD)\). Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là góc nào dưới đây?
Giải thích: Vì \(SA \perp (ABCD)\) nên hình chiếu vuông góc của \(SC\) trên mặt phẳng \((ABCD)\) là đường thẳng \(AC\). Do đó, góc giữa \(SC\) và \((ABCD)\) là góc \(\widehat{SCA}\).
Câu 6. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \perp (ABC)\) và \(SA = AB\sqrt{3}\). Tính góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \((ABC)\).
Giải thích: Hình chiếu của \(SB\) lên \((ABC)\) là \(AB\). Góc giữa \(SB\) và \((ABC)\) là \(\widehat{SBA}\). Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\), ta có: \(\tan \widehat{SBA} = \frac{SA}{AB} = \frac{AB\sqrt{3}}{AB} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{SBA} = 60^\circ\).
Câu 7. Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa đường thẳng \(A'C\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là góc nào sau đây?
Giải thích: Vì \(A'A \perp (ABCD)\) nên hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) lên \((ABCD)\) là điểm \(A\). Do đó, hình chiếu của \(A'C\) lên \((ABCD)\) là đường thẳng \(AC\). Vậy góc giữa \(A'C\) và \((ABCD)\) là góc \(\widehat{A'CA}\).
Câu 8. Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Tìm khẳng định đúng về góc giữa cạnh bên \(SA\) và mặt đáy \((ABCD)\).
Giải thích: Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \perp (ABCD)\). Hình chiếu vuông góc của \(SA\) lên mặt đáy \((ABCD)\) là đoạn thẳng \(AO\). Vậy góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là góc \(\widehat{SAO}\).
Câu 9. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \perp (ABCD)\) và \(SA = a\). Tính góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \((SAB)\).
Giải thích: Ta có \(DA \perp AB\) và \(DA \perp SA \Rightarrow DA \perp (SAB)\). Hình chiếu của điểm \(D\) lên mặt phẳng \((SAB)\) là điểm \(A\). Do đó hình chiếu của đường thẳng \(SD\) trên \((SAB)\) là đường thẳng \(SA\). Góc cần tìm là \(\widehat{DSA}\). Tam giác \(SAD\) vuông cân tại \(A\) (vì \(SA = AD = a\)) nên \(\widehat{DSA} = 45^\circ\).
Câu 10 Thực tế. Một cột cờ thẳng đứng \(SA\) được dựng trên mặt đất phẳng. Vào một thời điểm trong ngày, ánh nắng mặt trời chiếu xuống tạo thành bóng của cột cờ trên mặt đất là đoạn thẳng \(AB\) dài \(6\text{ m}\). Biết cột cờ có chiều cao \(SA = 6\sqrt{3}\text{ m}\). Tính góc nâng của mặt trời (góc giữa tia nắng mặt trời \(SB\) và mặt đất).
Giải thích: Vì cột cờ vuông góc với mặt đất nên \(SA \perp AB\) tại \(A\). Hình chiếu của tia nắng \(SB\) trên mặt đất là bóng của cột cờ \(AB\). Do đó, góc nâng của mặt trời chính là góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng đất \((P)\), tức là góc \(\widehat{SBA}\). Xét tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\): \(\tan \widehat{SBA} = \frac{SA}{AB} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{SBA} = 60^\circ\).