📘 BÀI HỌC TOÁN 11: PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Lời giải:

a) Tính góc giữa \(SB\) và \((ABC)\):

• Do \(SA \perp (ABC)\) nên \(A\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \((ABC)\).

• Điểm \(B \in (ABC)\) nên hình chiếu của \(B\) là chính nó.

• Suy ra \(AB\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) trên mặt phẳng \((ABC)\).

• Do đó: \(\widehat{(SB, (ABC))} = \widehat{(SB, AB)} = \widehat{SBA}\).

Xét tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\): \[ \tan \widehat{SBA} = \frac{SA}{AB} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{SBA} = 60^\circ \] Vậy góc giữa \(SB\) và \((ABC)\) bằng \(60^\circ\).

---

b) Tính góc giữa \(SC\) và \((SAB)\):

• Ta có \(BC \perp AB\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\)) và \(BC \perp SA\) (do \(SA \perp (ABC)\)).

• Suy ra \(BC \perp (SAB)\) tại \(B\). Do đó \(B\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên \((SAB)\).

• Mặc khác \(S \in (SAB)\) nên hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \((SAB)\) là \(SB\).

• Do đó: \(\widehat{(SC, (SAB))} = \widehat{(SC, SB)} = \widehat{CSB}\).

Xét tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\) (vì \(BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp SB\)):

Tính \(SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = 2a\).

\[ \tan \widehat{CSB} = \frac{BC}{SB} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{CSB} \approx 26^\circ 34' \]

Lời giải:

• Do \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \perp (ABCD)\) tại \(O\).

• Suy ra \(O\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \((ABCD)\).

• Do đó, hình chiếu vuông góc của \(SA\) lên \((ABCD)\) là đoạn thẳng \(AO\).

• Góc giữa \(SA\) và \((ABCD)\) là \(\widehat{(SA, AO)} = \widehat{SAO}\).

• Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên đường chéo \(AC = a\sqrt{2} \Rightarrow AO = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

• Xét tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\): \[ \cos \widehat{SAO} = \frac{AO}{SA} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \widehat{SAO} = 45^\circ \] Vậy góc giữa cạnh bên \(SA\) và đáy bằng \(45^\circ\).

Phân tích & Lời giải:

• Mô hình hóa toán học: Gọi thanh đỡ là đoạn thẳng \(AB = 2.5\text{ m}\) (với \(B\) nằm trên mặt sàn \((P)\)).

• Gọi \(A'\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên mặt sàn \((P)\). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt sàn là chiều cao nâng lên \(AA' = 1.25\text{ m}\).

• Góc tạo bởi thanh đỡ \(AB\) và mặt sàn \((P)\) chính là góc giữa đường thẳng \(AB\) và hình chiếu \(A'B\) của nó, tức là góc \(\widehat{ABA'}\).

• Xét tam giác \(AA'B\) vuông tại \(A'\): \[ \sin \widehat{ABA'} = \frac{AA'}{AB} = \frac{1.25}{2.5} = \frac{1}{2} \] \[ \Rightarrow \widehat{ABA'} = 30^\circ \] Kết luận: Thanh đỡ tạo với mặt sàn một góc bằng \(30^\circ\).