BÀI 24: PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

a) Hình chiếu của điểm \(S\) trên mặt phẳng \((ABC)\):

Vì \(SA \perp (ABC)\) tại \(A\) nên hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) trên mặt phẳng \((ABC)\) chính là điểm \(A\).

b) Hình chiếu của tam giác \(SBC\) trên mặt phẳng \((ABC)\):

• Hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) trên \((ABC)\) là điểm \(A\).
• Do các điểm \(B\) và \(C\) nằm trên mặt phẳng \((ABC)\) nên hình chiếu vuông góc của \(B\) và \(C\) trên \((ABC)\) lần lượt là chính nó (\(B\) và \(C\)).

Vậy hình chiếu vuông góc của tam giác \(SBC\) trên mặt phẳng \((ABC)\) là tam giác \(ABC\).

c) Hình chiếu của tam giác \(SBC\) trên mặt phẳng \((SAB)\):

• Các điểm \(S\) và \(B\) thuộc mặt phẳng \((SAB)\) nên hình chiếu vuông góc của chúng trên \((SAB)\) lần lượt là chính nó (\(S\) và \(B\)).
• Ta có: \(BC \perp AB\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\)) và \(BC \perp SA\) (do \(SA \perp (ABC)\)).
  Suy ra \(BC \perp (SAB)\) tại \(B\).
  Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm \(C\) trên mặt phẳng \((SAB)\) là điểm \(B\).

Vậy hình chiếu vuông góc của tam giác \(SBC\) trên mặt phẳng \((SAB)\) là đoạn thẳng \(SB\).

a) Tính góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\):

• Vì \(SA \perp (ABCD)\) nên \(AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) trên mặt phẳng \((ABCD)\).
• Do đó, góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là góc giữa \(SC\) và \(AC\), tức là góc \(\widehat{SCA}\).
• Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên đường chéo \(AC = a\sqrt{2}\).
• Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) (do \(SA \perp AC\)): \[\tan \widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1 \Rightarrow \widehat{SCA} = 45^\circ\]

Vậy góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\) bằng \(45^\circ\).

b) Tính góc giữa \(BD\) và mặt phẳng \((SAC)\):

• Vì \(ABCD\) là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc với nhau: \(BD \perp AC\).
• Lại có \(SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp BD\).
• Suy ra \(BD \perp (SAC)\) (vì \(BD \perp AC\) và \(BD \perp SA\)).

Vì đường thẳng \(BD\) vuông góc với mặt phẳng \((SAC)\) nên góc giữa \(BD\) và mặt phẳng \((SAC)\) bằng \(90^\circ\).

c) Tìm hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \((SAC)\):

• Điểm \(S\) thuộc mặt phẳng \((SAC)\) nên hình chiếu của \(S\) trên \((SAC)\) là chính điểm \(S\).
• Gọi \(O = AC \cap BD\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).
  Vì \(BD \perp (SAC)\) tại \(O\) nên hình chiếu vuông góc của điểm \(B\) trên \((SAC)\) chính là điểm \(O\).

Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(SB\) trên mặt phẳng \((SAC)\) là đường thẳng \(SO\).

a) Xác định hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \((SBC)\):

• Ta có: \(BC \perp AB\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\)) và \(BC \perp SA\) (do \(SA \perp (ABC)\)).
  Suy ra \(BC \perp (SAB)\).
• Trong mặt phẳng \((SAB)\), kẻ \(AH \perp SB\) tại \(H\) (\(H \in SB\)).
• Vì \(BC \perp (SAB)\) và \(AH \subset (SAB)\) nên \(BC \perp AH\) (hay \(AH \perp BC\)).
• Trong mặt phẳng \((SBC)\), hai đường thẳng \(SB\) và \(BC\) cắt nhau tại \(B\).
  Do \(AH \perp SB\) và \(AH \perp BC\), suy ra \(AH \perp (SBC)\) tại \(H\).

Vậy hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên mặt phẳng \((SBC)\) là điểm \(H\) (chân đường cao hạ từ \(A\) xuống cạnh \(SB\) trong tam giác \(SAB\)).

b) Tính góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \((ABC)\):

• Vì \(SA \perp (ABC)\) nên \(AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) trên mặt phẳng \((ABC)\).
• Do đó, góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \((ABC)\) là góc \(\widehat{SCA}\).
• Trong tam giác vuông \(ABC\) tại \(B\): \[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\]
• Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\): \[\tan \widehat{SCA} = \frac{SA}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[\Rightarrow \widehat{SCA} = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 35,26^\circ \text{ (hay } 35^\circ 16'\text{)}\]

Vậy góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \((ABC)\) xấp xỉ \(35,26^\circ\).

Vì \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \((P)\) nên \(SH \perp (P)\), suy ra \(SH \perp HM\) và \(SH \perp HM'\). Do đó các tam giác \(SHM\) và \(SHM'\) đều vuông tại \(H\).

Áp dụng định lý Pythagoras cho hai tam giác vuông \(\Delta SHM\) và \(\Delta SHM'\):

a) Chứng minh \(SM = SM' \iff HM = HM'\):

Vậy hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau (đpcm).

b) Chứng minh \(HM > HM' \Rightarrow SM > SM'\):

Vậy đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn (đpcm).

• Gọi \(v\) là độ lớn vận tốc của hai máy bay. Vì hai máy bay bay thẳng với cùng vận tốc nên sau 1 phút (\(t = 1\) phút), quãng đường hai máy bay bay được là bằng nhau: \[s = v \cdot t\] Gọi độ dài đường xiên này là \(S\) (với \(S > 0\)).
• Gọi độ cao của máy bay thứ nhất và máy bay thứ hai lần lượt là \(h_1\) và \(h_2\).
• Độ cao của mỗi máy bay tương ứng là cạnh đối diện với góc cất cánh trong tam giác vuông tạo bởi đường bay (đường xiên), hình chiếu trên mặt đất và khoảng cách vuông góc xuống mặt đất (độ cao): \[h_1 = S \cdot \sin 10^\circ\] \[h_2 = S \cdot \sin 15^\circ\]
• Do \(0^\circ < 10^\circ < 15^\circ < 90^\circ\) nên \(\sin 10^\circ < \sin 15^\circ\).
  Suy ra \(h_1 < h_2\).

Vậy sau 1 phút kể từ khi cất cánh, máy bay thứ hai (có góc cất cánh \(15^\circ\)) ở độ cao lớn hơn.

Cách đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang:

1. Dựng cọc chuẩn: Cắm một chiếc cọc thẳng đứng (vuông góc với mặt phẳng sân/đất nằm ngang) có độ dài \(h\) đã biết trước (chẳng hạn \(h = 1\text{ m}\)).
2. Đo độ dài bóng cọc: Tại vị trí và thời điểm cần đo, tiến hành đo độ dài bóng của cọc in trên mặt đất nằm ngang, gọi độ dài bóng cọc là \(d\).
3. Tính góc:
   • Tia sáng mặt trời đi qua đỉnh cọc và đầu bóng của cọc đóng vai trò là đường xiên.
   • Bóng của cọc trên mặt đất đóng vai trò là hình chiếu vuông góc của đường xiên trên mặt phẳng nằm ngang.
   • Góc \(\alpha\) giữa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang là góc trong tam giác vuông tạo bởi cọc thẳng đứng và bóng cọc: \[\tan \alpha = \frac{h}{d} \Rightarrow \alpha = \arctan\left(\frac{h}{d}\right)\]

Góc \(\alpha\) tính được chính là góc cần đo tại vị trí và thời điểm đó.