BÀI 23: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

a) Chứng minh \(BC \perp (SAM)\):

• Xét tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), có \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy \(BC\). Do đó \(AM\) đồng thời là đường cao, suy ra \(BC \perp AM\).
• Mặt khác, vì \(SA \perp (ABC)\) và \(BC \subset (ABC)\) nên \(SA \perp BC\) (hay \(BC \perp SA\)).
• Trong mặt phẳng \((SAM)\), hai đường thẳng \(AM\) và \(SA\) cắt nhau tại \(A\).

Do \(BC \perp AM\) và \(BC \perp SA\), suy ra \(BC \perp (SAM)\).

b) Chứng minh tam giác \(SBC\) cân tại \(S\):

• Vì \(BC \perp (SAM)\) và đường thẳng \(SM\) nằm trong mặt phẳng \((SAM)\) (\(SM \subset (SAM)\)), suy ra \(BC \perp SM\).
• Trong tam giác \(SBC\), đoạn thẳng \(SM\) vừa là đường trung tuyến (do \(M\) là trung điểm của \(BC\)) vừa là đường cao (do \(SM \perp BC\)).

Vậy tam giác \(SBC\) cân tại \(S\).

Hình chóp \(S.ABCD\) có 4 mặt bên là các tam giác: \(\Delta SAB\), \(\Delta SAD\), \(\Delta SBC\), và \(\Delta SDC\).

• Xét \(\Delta SAB\) và \(\Delta SAD\):
  Vì \(SA \perp (ABCD)\) nên \(SA \perp AB\) và \(SA \perp AD\). Do đó \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\) và \(\Delta SAD\) vuông tại \(A\).
• Xét \(\Delta SBC\):
  Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(BC \perp AB\).
  Lại có \(SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp BC\).
  Suy ra \(BC \perp (SAB)\) (vì \(BC \perp AB\) và \(BC \perp SA\)).
  Do \(SB \subset (SAB)\) nên \(BC \perp SB\). Vậy \(\Delta SBC\) vuông tại \(B\).
• Xét \(\Delta SDC\):
  Tương tự, vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(CD \perp AD\).
  Lại có \(SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp CD\).
  Suy ra \(CD \perp (SAD)\) (vì \(CD \perp AD\) và \(CD \perp SA\)).
  Do \(SD \subset (SAD)\) nên \(CD \perp SD\). Vậy \(\Delta SDC\) vuông tại \(D\).

Vậy tất cả các mặt bên của hình chóp \(S.ABCD\) đều là các tam giác vuông (đpcm).

1. Chứng minh \(AM \perp (SBC)\):

• Từ chứng minh Bài 7.6, ta có \(BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp AM\) (do \(AM \subset (SAB)\)).
• Theo giả thiết, \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\) nên \(AM \perp SB\).
• Trong mặt phẳng \((SBC)\), hai đường thẳng \(SB\) và \(BC\) cắt nhau. Do \(AM \perp SB\) và \(AM \perp BC\), suy ra \(AM \perp (SBC)\).

2. Chứng minh \(AN \perp (SCD)\):

• Tương tự, ta có \(CD \perp (SAD) \Rightarrow CD \perp AN\) (do \(AN \subset (SAD)\)).
• Theo giả thiết, \(N\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SD\) nên \(AN \perp SD\).
• Trong mặt phẳng \((SCD)\), hai đường thẳng \(SD\) và \(CD\) cắt nhau. Do \(AN \perp SD\) và \(AN \perp CD\), suy ra \(AN \perp (SCD)\).

3. Chứng minh \(SC \perp (AMN)\):

• Vì \(AM \perp (SBC)\) và \(SC \subset (SBC)\) nên \(AM \perp SC\) (hay \(SC \perp AM\)).
• Vì \(AN \perp (SCD)\) và \(SC \subset (SCD)\) nên \(AN \perp SC\) (hay \(SC \perp AN\)).
• Trong mặt phẳng \((AMN)\), hai đường thẳng \(AM\) và \(AN\) cắt nhau tại \(A\).

Do \(SC \perp AM\) và \(SC \perp AN\), suy ra \(SC \perp (AMN)\) (đpcm).

Có.

Giải thích: Khi mặt nước yên lặng, mặt phẳng chứa mặt nước nằm theo phương nằm ngang. Khi dây dọi căng dưới tác dụng của trọng lực, đường thẳng chứa dây dọi có phương thẳng đứng. Theo nguyên lý vật lý và hình học không gian, phương thẳng đứng luôn vuông góc với mọi phương nằm ngang trên mặt phẳng nằm ngang. Do đó, đường thẳng chứa dây dọi vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng.

• Xét tính vuông góc của cột với mặt sân:
  Gọi tam giác tạo bởi chân cột, điểm trên sân và điểm trên cột là tam giác \(ABC\), với hai cạnh kề chân cột có độ dài \(a = 1\text{ m}\), \(b = 1\text{ m}\) và cạnh đối diện có độ dài \(c = 1,5\text{ m}\).
  Nếu cột vuông góc với sân thì góc tại chân cột phải bằng \(90^\circ\), tức là tam giác \(ABC\) phải là tam giác vuông tại chân cột.
  Áp dụng định lý Định lý Pythagoras: \[a^2 + b^2 = 1^2 + 1^2 = 2\] \[c^2 = 1,5^2 = 2,25\]
  Vì \(a^2 + b^2 = 2 \neq 2,25 = c^2\), nên tam giác không vuông tại chân cột.
  Do đó, cột không vuông góc với mặt sân.
• Kết luận về phương thẳng đứng của cột:
  Giả sử mặt sân phẳng nằm ngang, một đường thẳng vuông góc với mặt sân phẳng nằm ngang thì sẽ có phương thẳng đứng. Vì cột không vuông góc với mặt sân nằm ngang nên có thể kết luận rằng cột không có phương thẳng đứng.