Bài học Toán THPT - Hai Đường Thẳng Vuông Góc

📐 BÀI HỌC TOÁN 11: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Chương VII: Quan hệ vuông góc trong không gian (Kết nối tri thức với cuộc sống)

📚 Nội dung bài học

1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

📌 Định nghĩa:

Góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) trong không gian là góc giữa hai đường thẳng \(a'\) và \(b'\) cùng đi qua một điểm \(O\) và lần lượt song song (hoặc trùng) với \(a\) và \(b\).

\[\left(a, b\right) = \left(a', b'\right) \quad \text{với } a' \parallel a, b' \parallel b\]
💡 Ký hiệu và Quy ước phạm vi góc:
  • Góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) ký hiệu là \((a, b)\) hoặc \(\widehat{(a, b)}\).
  • Quy ước góc \(\alpha\) giữa hai đường thẳng luôn thỏa mãn: **\(0^\circ \le \alpha \le 90^\circ\)**.
  • Nếu \(a \parallel b\) hoặc \(a \equiv b\) thì \((a, b) = 0^\circ\).
  • Điểm \(O\) có thể chọn tùy ý, thông thường chọn \(O\) thuộc một trong hai đường thẳng để đơn giản hóa việc tính toán.
📐 Tính góc bằng Véctơ chỉ phương:

Nếu \(\vec{u}\) là VTCP của đường thẳng \(a\) và \(\vec{v}\) là VTCP của đường thẳng \(b\), thì:

\[\cos(a, b) = |\cos(\vec{u}, \vec{v})| = \displaystyle\frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\]

2. Hai đường thẳng vuông góc

📌 Định nghĩa:

Hai đường thẳng \(a\) và \(b\) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \(90^\circ\).

Ký hiệu: \(a \perp b\) hoặc \(b \perp a\).

\[a \perp b \iff (a, b) = 90^\circ\]
📌 Tính chất quan trọng:
  • Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể **cắt nhau** hoặc **chéo nhau**.
  • Nếu hai đường thẳng \(a, b\) song song với nhau (\(a \parallel b\)), thì đường thẳng nào vuông góc với \(a\) cũng vuông góc với \(b\): \[\begin{cases} a \parallel b \\ c \perp a \end{cases} \Rightarrow c \perp b\]
  • Nếu \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) lần lượt là hai véctơ chỉ phương của \(a\) và \(b\), thì: \[a \perp b \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\]

3. Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc

🔑 Phương pháp 1: Dùng quan hệ song song

Để chứng minh \(a \perp b\), ta chứng minh \(a \perp c\) và \(c \parallel b\).

🔑 Phương pháp 2: Sử dụng Véctơ chỉ phương

Tìm véctơ chỉ phương \(\vec{u}\) của \(a\) và \(\vec{v}\) của \(b\), sau đó chứng minh tích vô hướng \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).

🔑 Phương pháp 3: Sử dụng các định lý hình học phẳng

Đưa về một mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng (hoặc chứa hai đường thẳng song song tương ứng) rồi dùng các định lý quen thuộc:

  • Định lý Pytago đảo trong tam giác.
  • Tính chất tam giác cân, tam giác đều (đường trung tuyến đồng thời là đường cao).
  • Tính chất đường trung trực, hình chữ nhật, hình vuông, hình bình hành.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Tính góc giữa hai đường thẳng trong hình lập phương

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Tính góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(A'C'\).

Lời giải:

• Trong mặt phẳng \((A'B'C'D')\), ta có \(A'C'\) là đường chéo của hình vuông \(A'B'C'D'\).

• Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(A'B' \parallel AB\).

• Do đó, góc giữa \(AB\) và \(A'C'\) bằng góc giữa \(A'B'\) và \(A'C'\):

\[(AB, A'C') = (A'B', A'C') = \widehat{B'A'C'}\]

• Vì \(A'B'C'D'\) là hình vuông nên đường chéo \(A'C'\) là đường phân giác của góc \(\widehat{B'A'D'} = 90^\circ\).

• Suy ra \(\widehat{B'A'C'} = 45^\circ\).

Vậy góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(A'C'\) bằng \(45^\circ\).

Ví dụ 2 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong tứ diện đều

Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng \(AB \perp CD\).

Lời giải:

• Đặt \(\vec{AB} = \vec{b}\), \(\vec{AC} = \vec{c}\), \(\vec{AD} = \vec{d}\). Vì \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh \(a\) nên:

\[|\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = a\] \[\widehat{BAC} = \widehat{CAD} = \widehat{DAB} = 60^\circ\]

• Tích vô hướng của các cặp véctơ:

\[\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{d} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \displaystyle\frac{a^2}{2}\]

• Ta có \(\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} = \vec{d} - \vec{c}\).

• Xét tích vô hướng \(\vec{AB} \cdot \vec{CD}\):

\[\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{b} \cdot (\vec{d} - \vec{c}) = \vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c} = \displaystyle\frac{a^2}{2} - \displaystyle\frac{a^2}{2} = 0\]

• Vì \(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0\) nên \(AB \perp CD\) (đpcm).

5. Luyện tập tự giải

Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a\), \(BC = a\sqrt{3}\). Tính góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(A'C\).
Bài 2: Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB \perp CD\). Gọi \(I, J, K, L\) lần lượt là trung điểm của \(AC, BC, BD, DA\). Chứng minh rằng tứ giác \(IJKL\) là hình chữ nhật.
Bài 3: Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC\) và \(\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA}\). Chứng minh rằng \(SA \perp BC\).

6. Ghi nhớ & Mẹo giải nhanh

🚨 Các bẫy thường gặp trong bài thi:
  • Nhầm lẫn góc nhọn và góc tù: Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn hoặc góc vuông (\(0^\circ \le \alpha \le 90^\circ\)). Nếu tính góc giữa 2 véctơ ra góc tù (ví dụ \(120^\circ\)), góc giữa 2 đường thẳng phải lấy bù lại là \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
  • Cho rằng hai đường thẳng vuông góc thì phải cắt nhau: Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc có thể **chéo nhau** (không cùng thuộc một mặt phẳng).
💡 Mẹo quy về hình phẳng để tính góc:

Khi tìm góc giữa hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\):

  1. Tìm đường thẳng \(a' \parallel a\) sao cho \(a'\) cắt \(b\) tại điểm \(M\).
  2. Xét tam giác chứa hai cạnh thuộc \(a'\) và \(b\) đi qua điểm \(M\).
  3. Dùng **Định lý Cosin** trong tam giác: \(\cos A = \displaystyle\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\).
  4. Nếu \(\cos A \ge 0 \Rightarrow \alpha = \widehat{A}\). Nếu \(\cos A < 0 \Rightarrow \alpha = 180^\circ - \widehat{A}\).