BÀI 22: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

• Trong hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), hai đáy \(ABC\) và \(A'B'C'\) là hai tam giác bằng nhau và song song. Do đó, ta có \(B'C' \parallel BC\).
• Góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(B'C'\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(BC\): \[(AB, B'C') = (AB, BC)\]
• Vì tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên góc \(\widehat{ABC} = 60^\circ\).

Vậy góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(B'C'\) bằng \(60^\circ\).

Tứ diện \(ACB'D'\) có 3 cặp cạnh đối diện là: \((AC, B'D')\), \((AB', CD')\), và \((AD', CB')\).

• Xét cặp cạnh đối \(AC\) và \(B'D'\):
  - Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau nên các mặt của nó là các hình thoi.
  - Xét hình thoi \(A'B'C'D'\), hai đường chéo vuông góc với nhau: \(A'C' \perp B'D'\).
  - Mặt khác, hai đáy \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\) song song nên \(AC \parallel A'C'\).
  - Do \(AC \parallel A'C'\) và \(A'C' \perp B'D'\), suy ra \(AC \perp B'D'\).
• Xét các cặp cạnh đối còn lại \((AB', CD')\) và \((AD', CB')\):
  - Chứng minh tương tự, xét hình thoi \(ABB'A'\) ta có \(AB' \perp A'B\). Lại có \(A'B \parallel CD'\) (do mặt bên \(ABC'D'\) hoặc tính chất hình hộp), suy ra \(AB' \perp CD'\).
  - Xét hình thoi \(ADD'A'\) ta có \(AD' \perp A'D\). Lại có \(A'D \parallel CB'\), suy ra \(AD' \perp CB'\).

Vậy tứ diện \(ACB'D'\) có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau (đpcm).

a) Chứng minh \(MN \perp BC\):[cite: 14]

• Xét tam giác \(ABD\), có \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là trung điểm của \(AD\)[cite: 14]. Do đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\), suy ra \(MN \parallel BD\).
• Theo giả thiết \(\widehat{CBD} = 90^\circ\), tức là \(BD \perp BC\)[cite: 14].
• Vì \(MN \parallel BD\) và \(BD \perp BC\), suy ra \(MN \perp BC\)[cite: 14].

b) Chứng minh \(GK \perp BC\):[cite: 14]

• Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(K\) là trọng tâm tam giác \(ACD\)[cite: 14], gọi \(P\) là trung điểm của cạnh chung \(AC\).
• Theo tính chất trọng tâm, ta có: \[\frac{BG}{BP} = \frac{2}{3} \quad \text{và} \quad \frac{DK}{DP} = \frac{2}{3}\] Suy ra: \[\frac{PG}{PB} = \frac{1}{3} \quad \text{và} \quad \frac{PK}{PD} = \frac{1}{3} \implies \frac{PG}{PB} = \frac{PK}{PD}\]
• Trong tam giác \(PBD\), áp dụng định lý Thales đảo, ta suy ra \(GK \parallel BD\).
• Mà \(BD \perp BC\) (do \(\widehat{CBD} = 90^\circ\)[cite: 14]), từ đó suy ra \(GK \perp BC\)[cite: 14].

Dựa vào phương của các cấu kiện kiến trúc nhà gỗ truyền thống trong Hình 7.8[cite: 14]:

• Cột (5): Đặt theo phương đứng (vuông góc với mặt sàn/nền nhà).
• Hoành (1), Xà cái (3): Đặt nằm ngang theo chiều dài nhà (song song với hông nhà).
• Quá giang (2): Đặt nằm ngang theo chiều rộng nhà (vuông góc với hoành và xà cái).
• Rui (4): Đặt xuôi theo độ dốc của mái nhà.

Các cặp cấu kiện vuông góc với nhau bao gồm:

• Cột (5) và Hoành (1): \(5 \perp 1\)
• Cột (5) và Quá giang (2): \(5 \perp 2\)
• Cột (5) và Xà cái (3): \(5 \perp 3\)
• Quá giang (2) và Hoành (1): \(2 \perp 1\)
• Quá giang (2) và Xà cái (3): \(2 \perp 3\)
• Rui (4) và Hoành (1): \(4 \perp 1\)