BÀI 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

Giải thích: Áp dụng quy tắc \( \dfrac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} \).

\(y = a x^3 + b x^2 + c x + d\) nên \[ y' = 3a x^2 + 2b x + c. \]

Giải thích: \( (\sin x)'=\cos x, (\cos x)'=-\sin x.\) Do đó \[ y' = 3\cos x -5(-\sin x) = 3\cos x +5\sin x. \]

Giải thích: \( (e^x)'=e^x,\;(\ln x)'=1/x.\) Vậy \[ y' = 3e^x - 5\cdot\frac{1}{x} = 3e^x - \frac{5}{x}. \]

Giải thích: Nếu \(a>0\) thì \((a^x)'=\ln(a)\,a^x\). Đồng thời \(\log_3 x=\dfrac{\ln x}{\ln 3}\) nên đạo hàm là \(\dfrac{1}{x\ln 3}\). Kết luận: \[ y'=\ln(2.5)\cdot2.5^x+\frac{1}{x\ln3}. \]

Giải thích: Viết \(3\sqrt{x}=3x^{1/2}\). Ta có \((x^{1/2})'=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\). Đồng thời \(\left(-\dfrac{1}{x}\right)'=+\dfrac{1}{x^2}\). Vậy \[ y' = 3\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2} = \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2}. \]

Giải thích: Dùng quy tắc nhân \( (fg)'=f'g+fg' \). Với \(f=2x-1, f'=2\) và \(g=x^2+x-3, g'=2x+1\), ta có \[ y' = 2(x^2+x-3) + (2x-1)(2x+1). \] Rút gọn: \(2x^2+2x-6 + (4x^2-1) = 6x^2+2x-7.\)

Giải thích: Dùng quy tắc chia: \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\). Với \(u=x^2-3x+1, u'=2x-3;\; v=2x-1, v'=2\). Tử số: \[ (2x-3)(2x-1)-2(x^2-3x+1)=2x^2-2x+1. \] Vậy \[ y'=\dfrac{2x^2-2x+1}{(2x-1)^2}. \]

Giải thích: Nếu \(y=\tan(u(x))\) thì \(y'=u'(x)\sec^2(u(x))\). Với \(u=3x-1\) có \(u'=3\). Do đó \(y'=3\sec^2(3x-1)\).

Giải thích: \(y=(2x-1)^{1/2}\). Dùng chuỗi quy tắc: \(y'=\tfrac12(2x-1)^{-1/2}\cdot(2)= (2x-1)^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}\). Tại \(x=5\): \(\dfrac{1}{\sqrt{9}}=\dfrac{1}{3}.\)

Giải thích: Ta có \(y=\sin^2 x\Rightarrow y'=2\sin x\cos x=\sin2x\). Do đó \(y''=(\sin2x)'=2\cos2x.\)