BÀI 1. ĐẠO HÀM
Giải thích:
Định nghĩa đạo hàm tại \(x_0\) là \(f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) (hoặc tương đương dùng \(\Delta x\) hay \(h\)). Trong phương án D biểu thức \(\dfrac{f(x+x_0)-f(x_0)}{x-x_0}\) là một biểu thức khác: khi \(x\to x_0\) thì \(x+x_0\to 2x_0\), không tương đương với giới hạn định nghĩa đạo hàm tại \(x_0\). Do đó D sai.
Giải thích: Theo định nghĩa đạo hàm tại \(x=-1\): \[ f'(-1)=\lim_{x\to -1}\frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)}=\lim_{x\to -1}\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}. \] Các phương án A và B chứa biểu thức khác (dấu + thay vì - hoặc dùng f(1)), phương án D chia cho \(x-1\) nên không liên quan.
Giải thích: Biểu thức cho đúng bằng định nghĩa đạo hàm tại \(x=2\): \[f'(2)=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=3.\] Không có đủ thông tin để suy ra \(f'(x)=3\) cho mọi \(x\) nên A và C sai. D cũng sai vì mệnh đề \(f'(3)=2\) không liên quan.
Giải thích: Theo định nghĩa, \(f'(6)=\lim_{x\to6}\dfrac{f(x)-f(6)}{x-6}=2\).
Giải thích:
Ta có \(f'(x)=\dfrac{d}{dx}(2x^2+x+1)=4x+1.\) Do đó \(f'(2)=4\cdot2+1=9.\)
Giải thích: Vận tốc là \(v(t)=s'(t)=2t\). Tại \(t=2\): \(v(2)=2\cdot2=4\) (m/s).
Giải thích: \(y'=2x\). Tại \(x=0.5\): \(y'=2\cdot0.5=1.\)
Giải thích: \(y'=3x^2\). Tại \(x=-1\): \(y'( -1)=3\).
Phương trình tiếp tuyến: \(y-y_0=m(x-x_0)\Rightarrow y+1=3(x+1)\Rightarrow y=3x+2.\)
Giải thích: Công thức lãi kép liên tục: \(A=Pe^{rt}\). Với \(P=50{,}000{,}000, r=0.02, t=1:\) \(A=50{,}000{,}000\,e^{0.02}\approx50{,}000{,}000\times1.02020134\approx51{,}010{,}067.\)
Giải thích: Lãi kép liên tục: \(A=Pe^{rt}\). Thời gian: 2 tháng = 60 ngày = \(60/365\) năm. Lãi thu được (không kể vốn) là \(I=P(e^{rt}-1)\). Với \(P=10{,}000{,}000, r=0.05, t=60/365\): \[I=10{,}000{,}000\left(e^{0.05\cdot(60/365)}-1\right)\approx10{,}000{,}000(1.008253-1)\approx82{,}530.\]
