Lời giải:

a) Dùng định nghĩa: đạo hàm tại $x_0$ là $$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$$ Với $f(x)=x^2$ và $x_0=1$: $$f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\lim_{h\to0}\frac{2h+h^2}{h}=\lim_{h\to0}(2+h)=2.$$ Vậy $f'(1)=2$.

b) Dùng quy tắc: $$f(x)=x^3-2x+1 \Rightarrow f'(x)=3x^2-2.$$ (Rất trực tiếp từ quy tắc đạo hàm đa thức.)

c) Với $f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}$, có thể dùng định nghĩa hoặc quy tắc: $$f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$ Tại $x_0=4$: $f'(4)=\dfrac{1}{2\sqrt{4}}=\dfrac{1}{4}.$ Nếu dùng định nghĩa: tương tự ta thu được cùng kết quả.

d) $f(x)=|x|$. Ta xét hai phía: - Nếu $x>0$, $|x|=x \Rightarrow f'(x)=1$. - Nếu $x<0$, $|x|=-x \Rightarrow f'(x)=-1$. Tại $x_0=0$ hai giới hạn trái-phải của $\dfrac{|h|-0}{h}$ là $-1$ và $1$ nên đạo hàm không tồn tại tại $0$. Vậy $f'(0)$ không tồn tại.

Lời giải:

a) $y=x^3-3x+1$. Ta có $y'=3x^2-3$. Tại $x_0=1$: $y'(1)=3(1)^2-3=0$. Giá trị hàm $y(1)=1-3+1=-1$. Phương trình tiếp tuyến tại $(1,-1)$: $$y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)\Rightarrow y+1=0\cdot (x-1) \Rightarrow y=-1.$$ Vậy tiếp tuyến ngang: $y=-1$.

b) $y=\sqrt{x^2+1}$. Ta có đạo hàm: $$y'=\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.$$ Tại $x_0=0$: $y'(0)=0$. Giá trị hàm $y(0)=1$. Phương trình tiếp tuyến: $y-1=0\cdot(x-0)\Rightarrow y=1$.

c) Độ dịch chuyển $s(t)=4t^2+2t$; vận tốc tức thời là đạo hàm theo $t$: $$v(t)=s'(t)=8t+2.$$ Tại $t=2$: $v(2)=8\cdot2+2=18$ (đơn vị m/s).

Lời giải:

a) $y=\sin(2x+1)$. Áp dụng quy tắc chuỗi: $$y'=\cos(2x+1)\cdot(2)=2\cos(2x+1).$$

b) $y=e^{x^2}\cos x$ là tích hai hàm. Dùng quy tắc nhân: $$y'=(e^{x^2})'\cos x + e^{x^2}(\cos x)' = (2x e^{x^2})\cos x + e^{x^2}(-\sin x).$$ Kết hợp: $$y' = e^{x^2}\big(2x\cos x - \sin x\big).$$

c) $y=\ln(3x^2+1)$. Dùng quy tắc chuỗi: $$y'=\frac{1}{3x^2+1}\cdot (6x)=\frac{6x}{3x^2+1}=\frac{6x}{3x^2+1}.$$ (Có thể rút gọn nếu muốn; đây là dạng hợp lệ.)

d) $y=2^x$. Dùng biểu diễn $2^x=e^{x\ln2}$: $$y' = (\ln 2)\cdot 2^x.$$ Vậy $y'=2^x\ln2$.

e) $y=\log_{10}(\sin x)$, miền xác định: $\sin x>0$. Dùng đổi cơ số: $\log_{10}(\sin x)=\dfrac{\ln(\sin x)}{\ln 10}$. Do đó: $$y'=\frac{1}{\ln 10}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\ln 10}\cot x,\quad \text{với }\sin x>0.$$ (Hoặc viết $y'=\dfrac{\cos x}{\sin x\ln 10}$.)

Lời giải:

a) $y'=3x^2-6x$, $y''=6x-6$. Ta giải $y'=0$: $3x^2-6x=3x(x-2)=0 \Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Tính $y''$ tại các điểm: - $y''(0)= -6 <0 \Rightarrow x=0$ là cực đại cục. - $y''(2)=6\cdot2-6=6>0 \Rightarrow x=2$ là cực tiểu cục.

b) $y=\ln x - 1/x$, $x>0$: $$y'=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=\frac{x+1}{x^2}.$$ Lập $y'=0 \Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1$ (không thỏa vì $x>0$). Do đó không có điểm tới hạn trong miền; không có cực trị nội suy.

c) $y=x^4-4x^2$. Ta có: $$y'=4x^3-8x=4x(x^2-2)=0 \Rightarrow x=0,\ x=\pm\sqrt{2}.$$ Đạo hàm cấp hai: $$y''=12x^2-8.$$ Tính: - $y''(0)=-8<0 \Rightarrow x=0$ là cực đại cục với $y(0)=0$. - $y''(\pm\sqrt{2})=12(\,2\,)-8=24-8=16>0\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}$ là cực tiểu cục. Giá trị cực tiểu: $y(\pm\sqrt{2})=(\sqrt{2})^4-4(\sqrt{2})^2=4-8=-4$. Vậy GTNN cục là $-4$ tại $x=\pm\sqrt{2}$; GTLN trên $\mathbb{R}$: hàm không chặn trên (→ $+\infty$), không chặn dưới hơn nữa sau cực tiểu đã xác định.

Lời giải:

a) Lợi nhuận $L(x)=R(x)-C(x)=100x-0.5x^2-(20+10x)=90x-0.5x^2-20$. Đạo hàm: $$L'(x)=90 - x.$$ Tìm điểm tới hạn: $L'(x)=0 \Rightarrow x=90$ (đơn vị sản phẩm). Đạo hàm cấp hai: $L''(x)=-1<0$ nên tại $x=90$ là cực đại. Giá trị lợi nhuận cực đại: $$L(90)=90\cdot90 -0.5\cdot90^2 -20 = 8100 -0.5\cdot8100 -20 = 8100 -4050 -20 = 4030.$$ (Đơn vị: triệu đồng nếu R,C cho như vậy.)

b) $s(t)=3t^3-9t^2+6t$. Vận tốc: $$v(t)=s'(t)=9t^2-18t+6 = 9t^2-18t+6.$$ Gia tốc: $$a(t)=v'(t)=s''(t)=18t-18.$$ Tìm $t\ge0$ sao cho $v(t)=0$: $$9t^2-18t+6=0 \Rightarrow t^2-2t+\tfrac{2}{3}=0.$$ Giải phương trình: $$t=\frac{2\pm\sqrt{4- \tfrac{8}{3}}}{2} = 1 \pm \frac{1}{2}\sqrt{4-\tfrac{8}{3}} = 1 \pm \frac{1}{2}\sqrt{\tfrac{4}{3}} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}.$$ Ta có hai nghiệm dương: $$t_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3},\quad t_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}.$$ (Cả hai đều $\ge0$; tuỳ yêu cầu, liệt kê cả hai thời điểm.)

Lời giải (ghi ý):

6a) $y=\arctan(x^2)$. Dùng quy tắc chuỗi: $$y'=\frac{1}{1+(x^2)^2}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^4}.$$ (Miền xác định toàn $\mathbb{R}$.)

6b) $y=x^x$ với $x>0$. Lấy log tự nhiên: $$\ln y = x\ln x.$$ Đạo hàm cả hai vế theo $x$: $$\frac{y'}{y} = \ln x + 1 \Rightarrow y' = x^x(\ln x + 1).$$

6c) $f(x)=\ln(\sin x)-\ln(\cos x)=\ln\big(\tan x\big)$, miền xác định: $\sin x>0,\cos x\ne0$ (thường lấy $0

7) (Gợi ý áp dụng, theo (Hình 3), (Hình 4)): - Để tìm góc giữa đường cong và trục hoành tại một điểm, dùng tiếp tuyến có hệ số góc $y'(x_0)$; góc $\theta=\arctan(y'(x_0))$. - Nếu cần diện tích gần đường cong, dùng khai triển tuyến tính tại điểm để xấp xỉ.