BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VI
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)
A – TRẮC NGHIỆM
Khẳng định B sai vì hai lũy thừa có số mũ khác nhau (\(\alpha \neq \beta\)) không thể áp dụng công thức \((xy)^{\alpha + \beta}\). Công thức đúng phải là \(x^\alpha \cdot y^\alpha = (xy)^\alpha\).
Chọn B.
Biến đổi tử thức dưới dạng lũy thừa:
\[\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} = \sqrt{x\sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}} = \sqrt{x\sqrt{x^{\frac{3}{2}}}} = \sqrt{x \cdot x^{\frac{3}{4}}} = \sqrt{x^{\frac{7}{4}}} = x^{\frac{7}{8}}\]Thực hiện phép chia:
\[x^{\frac{7}{8}} : x^{\frac{11}{8}} = x^{\frac{7}{8} - \frac{11}{8}} = x^{-\frac{4}{8}} = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}\]Chọn D.
Sử dụng tính chất lôgarit của tích và lũy thừa:
\[\log_a \left(a^3 b^2\right) = \log_a (a^3) + \log_a (b^2) = 3 + 2\log_a b\]Chọn B.
Khẳng định C sai vì theo công thức biến đổi lôgarit:
\[\log_a \frac{1}{x} = \log_a (x^{-1}) = -\log_a x \neq \frac{1}{\log_a x}\]Chọn C.
Đổi cơ số lôgarit:
\[\log_6 5 = \frac{1}{\log_5 6} = \frac{1}{\log_5 (2 \cdot 3)} = \frac{1}{\log_5 2 + \log_5 3}\]Vì \(\log_2 5 = a \implies \log_5 2 = \frac{1}{a}\) và \(\log_3 5 = b \implies \log_5 3 = \frac{1}{b}\):
\[\log_6 5 = \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{1}{\frac{a + b}{ab}} = \frac{ab}{a + b}\]Chọn A.
Khẳng định C sai vì với mọi \(x \in \mathbb{R}\), \(2^x > 0\), đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục hoành \(Ox\) và nhận \(Ox\) làm đường tiệm cận ngang, do đó không bao giờ cắt trục \(Ox\).
Chọn C.
Hàm số lôgarit \(y = \ln x = \log_e x\) có cơ số \(e \approx 2,718 > 1\) nên đồng biến trên tập xác định \((0; +\infty)\).
Các hàm ở đáp án A, B, C đều có cơ số nhỏ hơn 1 (hoặc số mũ âm) nên nghịch biến.
Chọn D.
- Đồ thị hàm số \(y = \log_c x\) đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến, suy ra \(0 < c < 1\).
- Đồ thị hai hàm số \(y = \log_a x\) và \(y = \log_b x\) đi lên từ trái sang phải nên hai hàm số đồng biến, suy ra \(a > 1\) và \(b > 1\).
- Kẻ đường thẳng nằm ngang \(y = 1\), cắt đồ thị \(y = \log_b x\) tại điểm có hoành độ \(x = b\) và cắt đồ thị \(y = \log_a x\) tại điểm có hoành độ \(x = a\). Dựa vào vị trí trên trục \(Ox\), ta thấy điểm có hoành độ \(b\) nằm bên phải điểm có hoành độ \(a\), do đó \(b > a\).
Vậy thứ tự đúng là \(b > a > c\).
Chọn B.
B – TỰ LUẬN
Ta tính từng số hạng trong biểu thức \(B\):
1. Biến đổi biểu thức dưới dấu lôgarit:
\[\frac{a^2 \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{a^4}}{\sqrt{a}} = \frac{a^2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{4}{5}}}{a^{\frac{1}{2}}} = a^{2 + \frac{1}{3} + \frac{4}{5} - \frac{1}{2}} = a^{\frac{79}{30}}\] \[\implies \log_a \left(a^{\frac{79}{30}}\right) = \frac{79}{30}\]2. Biến đổi số hạng thứ hai:
\[a^{2\log_a \frac{\sqrt{11}}{2}} = a^{\log_a \left(\frac{\sqrt{11}}{2}\right)^2} = \left(\frac{\sqrt{11}}{2}\right)^2 = \frac{11}{4}\]Cộng hai kết quả lại:
\[B = \frac{79}{30} + \frac{11}{4} = \frac{158 + 165}{60} = \frac{323}{60}\]a) \(3^{1-2x} = 4^x\);
b) \(\log_3(x + 1) + \log_3(x + 4) = 2\).
a) \(3^{1-2x} = 4^x\):
Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế:
\[1 - 2x = \log_3(4^x) \Leftrightarrow 1 - 2x = x \log_3 4\] \[\Leftrightarrow x(\log_3 4 + 2) = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{\log_3 4 + 2} = \frac{1}{\log_3 36}\]Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{\log_3 36}\).
b) \(\log_3(x + 1) + \log_3(x + 4) = 2\):
Điều kiện: \(\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 4 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > -1\).
Phương trình biến đổi:
\[\log_3[(x + 1)(x + 4)] = 2 \Leftrightarrow (x + 1)(x + 4) = 3^2 = 9\] \[\Leftrightarrow x^2 + 5x + 4 = 9 \Leftrightarrow x^2 + 5x - 5 = 0\] \[\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = \frac{-5 + \sqrt{45}}{2} = \frac{-5 + 3\sqrt{5}}{2} \text{ (thỏa mãn)} \\ x = \frac{-5 - 3\sqrt{5}}{2} \text{ (loại)} \end{bmatrix}\]Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{-5 + 3\sqrt{5}}{2}\).
a) \(y = \sqrt{4^x - 2^{x+1}}\);
b) \(y = \ln(1 - \ln x)\).
a) \(y = \sqrt{4^x - 2^{x+1}}\):
Hàm số xác định khi biểu thức dưới căn không âm:
\[4^x - 2^{x+1} \ge 0 \Leftrightarrow (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x \ge 0\] \[\Leftrightarrow 2^x(2^x - 2) \ge 0\]Vì \(2^x > 0\) với mọi \(x\), suy ra \(2^x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow 2^x \ge 2^1 \Leftrightarrow x \ge 1\).
Vậy tập xác định là \(D = [1; +\infty)\).
b) \(y = \ln(1 - \ln x)\):
Hàm số xác định khi và chỉ khi:
\[\begin{cases} x > 0 \\ 1 - \ln x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0 \\ \ln x < 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x < e \end{cases}\]Vậy tập xác định là \(D = (0; e)\).
b) Nếu sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm chỉ còn là 90 triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là bao nhiêu?
c) Nếu tỉ lệ lạm phát là 5%/năm thì sau bao nhiêu năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa?
a) Với \(P = 100\) triệu, \(r = 8\), \(n = 2\):
\[A = 100 \cdot \left(1 - \frac{8}{100}\right)^2 = 100 \cdot (0,92)^2 = 84,64\text{ (triệu đồng)}\]Sức mua của 100 triệu đồng sau 2 năm còn lại \(84,64\text{ triệu đồng}\).
b) Với \(P = 100\) triệu, \(A = 90\) triệu, \(n = 2\):
\[90 = 100 \cdot \left(1 - \frac{r}{100}\right)^2 \Leftrightarrow \left(1 - \frac{r}{100}\right)^2 = 0,9\] \[\Leftrightarrow 1 - \frac{r}{100} = \sqrt{0,9} \approx 0,9487 \Leftrightarrow \frac{r}{100} \approx 0,0513 \Leftrightarrow r \approx 5,13\%\]Tỉ lệ lạm phát trung bình khoảng \(5,13\%\text{/năm}\).
c) Với \(r = 5\), tìm \(n\) để \(A = \frac{1}{2}P\):
\[\frac{1}{2}P = P \cdot \left(1 - \frac{5}{100}\right)^n \Leftrightarrow (0,95)^n = 0,5\] \[\Leftrightarrow n = \log_{0,95}(0,5) \approx 13,51\text{ (năm)}\]Vậy sau khoảng 13,5 năm (hoặc khoảng 14 năm) thì sức mua còn lại một nửa.
Giả sử ban đầu có 500 con vi khuẩn và sau 1 giờ tăng lên 800 con.
a) Sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là khoảng bao nhiêu con?
b) Sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi?
Theo giả thiết \(N_0 = 500\), sau \(t = 1\) giờ có \(N(1) = 800\):
\[800 = 500 e^{r \cdot 1} \Leftrightarrow e^r = \frac{800}{500} = 1,6 \Leftrightarrow r = \ln(1,6) \approx 0,47\]a) Số lượng vi khuẩn sau 5 giờ (\(t = 5\)):
\[N(5) = 500 \cdot e^{5 \cdot \ln(1,6)} = 500 \cdot (1,6)^5 \approx 5\,243\text{ (con)}\]Sau 5 giờ số lượng vi khuẩn khoảng \(5\,243\text{ con}\).
b) Thời gian để số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi (\(N(t) = 2N_0 = 1000\)):
\[1000 = 500 e^{rt} \Leftrightarrow e^{rt} = 2 \Leftrightarrow rt = \ln 2\] \[\Leftrightarrow t = \frac{\ln 2}{\ln(1,6)} \approx 1,47\text{ (giờ)}\]Vậy sau khoảng 1,47 giờ (khoảng 1 giờ 28 phút) thì số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi.
b) Tìm chữ số có xác suất bằng 9,7% được chọn.
c) Tính xác suất để chữ số đầu tiên là 1.
a) Công thức tìm chữ số \(d\) theo xác suất \(P\):
\[P = \log \left(\frac{d + 1}{d}\right) \Leftrightarrow \frac{d + 1}{d} = 10^P\] \[\Leftrightarrow 1 + \frac{1}{d} = 10^P \Leftrightarrow \frac{1}{d} = 10^P - 1 \Leftrightarrow d = \frac{1}{10^P - 1}\]b) Tìm chữ số \(d\) có xác suất \(P = 9,7\% = 0,097\):
\[d = \frac{1}{10^{0,097} - 1} \approx \frac{1}{1,2503 - 1} = \frac{1}{0,2503} \approx 3,995 \approx 4\]Vậy chữ số có xác suất được chọn bằng \(9,7\%\) là chữ số 4.
c) Tính xác suất để chữ số đầu tiên là \(d = 1\):
\[P = \log \left(\frac{1 + 1}{1}\right) = \log 2 \approx 0,301 = 30,1\%\]Xác suất để chữ số đầu tiên là 1 bằng khoảng \(30,1\%\).