Giải:

a) $\sqrt{25} = 5^{1/2} \Rightarrow 5^{x-1} = 5^{1/2} \Rightarrow x - 1 = \tfrac{1}{2} \Rightarrow x = \tfrac{3}{2}.$

b) $8 = 2^3,\; 32 = 2^5 \Rightarrow (2^{-3})^{2x+4} = (2^5)^{x-3} \Rightarrow 2^{-6x-12} = 2^{5x-15}$
$\Rightarrow -6x - 12 = 5x - 15 \Rightarrow 11x = 3 \Rightarrow x = \tfrac{3}{11}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \tfrac{3}{11}$.

Giải:

a) $\log_3(3x-5) = \tfrac{1}{2} \Rightarrow 3x - 5 = 3^{1/2} = \sqrt{3} \Rightarrow x = \tfrac{5+\sqrt{3}}{3}.$

b) Điều kiện: $x>0, x+1>0, 5x+12>0$ ⟹ $x>-1$.

Áp dụng $\log a + \log b = \log(ab)$: $$\log_3[x(x+1)] = \log_3(5x+12) \Rightarrow x^2 + x = 5x + 12 \Rightarrow x^2 - 4x - 12 = 0.$$ $$\Rightarrow x = 6 \text{ hoặc } x = -2.$$ Với điều kiện $x>-1$, chỉ nhận $x=6$.

Vậy nghiệm là $x = 6.$

Giải:

a) $81 = 3^4$, ta có $\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2x+1} \le 3^4 \Rightarrow 3^{-2x-1} \le 3^4.$
Vì $3 > 1$ nên bất phương trình tương đương $-2x - 1 \le 4 \Rightarrow x \ge -\tfrac{5}{2}.$

b) $\left(\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right)^x < 25^{x-1} \Leftrightarrow 5^{-x/2} < 5^{2x-2}$
$\Rightarrow -\tfrac{x}{2} < 2x - 2 \Rightarrow -2 < \tfrac{5x}{2} \Rightarrow x > -\tfrac{4}{5}.$
Vậy bất phương trình có nghiệm $x > -\tfrac{4}{5}.$

Giải:

a) Điều kiện: $x^2 - 4 > 0 \Rightarrow x < -2$ hoặc $x > 2$.

$\log_5(x^2 - 4) < 2 \Rightarrow x^2 - 4 < 5^2 = 25 \Rightarrow -3 < x < 3.$
Kết hợp điều kiện: $x < -2$ hoặc $x > 2$ ⟹ nghiệm là $-3 < x < -2$ hoặc $2 < x < 3.$

b) Do $0 < 0.5 < 1$ nên hàm $\log_{0.5}x$ nghịch biến.
Bất phương trình tương đương: $$2x+1 \le 3x-4 \Rightarrow x \ge 5.$$ Vậy nghiệm là $x \ge 5.$