BÀI 3. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔGARIT
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Vẽ đồ thị hàm số $y = \left(\frac{3}{2}\right)^x$.
Giải:
Tập xác định: $\mathbb{R}$.
Vì $\dfrac{3}{2} > 1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| y | $\frac{4}{9}$ | $\frac{2}{3}$ | 1 | $\frac{3}{2}$ | $\frac{9}{4}$ | $\frac{27}{8}$ |
Đồ thị đi qua $(0;1)$, nằm phía trên trục hoành và tăng dần.
Vẽ đồ thị hàm số $y = \log_{0.5}x$.
Giải:
Tập xác định: $(0; +\infty)$.
Do $0 < 0.5 < 1$ nên hàm số nghịch biến trên $(0; +\infty)$.
| x | 0.25 | 0.5 | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 |
Đồ thị nằm bên phải trục tung, đi qua $(1;0)$ và giảm dần.
So sánh các cặp số sau:
a) $0.75^{1/4}$ và $0.75^{3/4}$ b) $\sqrt[3]{27}$ và $\sqrt[5]{9}$
Giải:
a) Vì $0.75 < 1$ nên hàm số $y = 0.75^x$ nghịch biến. Do đó $0.75^{1/4} > 0.75^{3/4}$.
b) Ta có $\sqrt[3]{27} = 3$, $\sqrt[5]{9} = 9^{1/5} = 3^{2/5}$. Vì $3 > 1$ nên $3^{2/5} < 3$, hay $\sqrt[3]{27} > \sqrt[5]{9}$.
So sánh các cặp số sau:
a) $\log_2 8$ và $\log_3 3$ b) $4\log_2 9$ và $3\log_3 \sqrt{15}$
Giải:
a) $\log_2 8 = 3$, $\log_3 3 = 1$ ⟹ $\log_2 8 > \log_3 3.$
b) $4\log_2 9 = 4\log_2 3^2 = 8\log_2 3$,
$3\log_3 \sqrt{15} = 3\cdot\frac{1}{2}\log_3 15 = \frac{3}{2}\log_3 15.$
Đổi cơ số: $\log_3 15 = \frac{\log_2 15}{\log_2 3}$, nên $3\log_3 \sqrt{15} = \frac{3}{2}\frac{\log_2 15}{\log_2 3}.$ So sánh ta thấy $8\log_2 3 > \frac{3}{2}\frac{\log_2 15}{\log_2 3}$ ⇒ $\log_2 3$ lớn hơn.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
a) $y = f(x) = 2^x$ trên đoạn $[-2;3]$
b) $y = f(x) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x-1}$ trên đoạn $[-1;2]$
Giải:
a) Hàm $y=2^x$ đồng biến vì $2>1$ nên $$\max y = y(3) = 2^3 = 8,\quad \min y = y(-2) = 2^{-2} = \frac{1}{4}.$$
b) Hàm $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{2x-1}$ nghịch biến vì $\frac{1}{3} < 1$, nên giá trị lớn nhất tại $x=-1$ và nhỏ nhất tại $x=2$: $$\max y = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} = 27,\quad \min y = \left(\frac{1}{3}\right)^{3} = \frac{1}{27}.$$
