Câu 1. Nghiệm của phương trình mũ cơ bản \(2^x = 16\) là:
Giải thích: Ta có \(2^x = 16 \Leftrightarrow 2^x = 2^4 \Leftrightarrow x = 4\).
Câu 2. Nghiệm của phương trình lôgarit \(\log_3 (x - 2) = 2\) là:
Giải thích:
Điều kiện xác định: \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\).
Phương trình tương đương với: \(x - 2 = 3^2 \Leftrightarrow x - 2 = 9 \Leftrightarrow x = 11\) (thỏa mãn).
Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình mũ \(3^x > 9\) là:
Giải thích: Vì cơ số \(3 > 1\), bất phương trình cùng chiều: \(3^x > 3^2 \Leftrightarrow x > 2\). Tập nghiệm là \((2; +\infty)\).
Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình lôgarit \(\log_{0{,}5} x \ge -1\) là:
Giải thích:
Điều kiện xác định: \(x > 0\).
Vì cơ số \(0 < 0{,}5 < 1\), bất phương trình đảo chiều: \(x \le (0{,}5)^{-1} = 2\).
Kết hợp điều kiện thu được tập nghiệm: \(0 < x \le 2\), tức \((0; 2]\).
Câu 5. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(5^{x^2 - 3x + 2} = 1\) bằng:
Giải thích:
\(5^{x^2 - 3x + 2} = 1 \Leftrightarrow 5^{x^2 - 3x + 2} = 5^0 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0\).
Phương trình có hai nghiệm \(x_1 = 1, x_2 = 2\). Tổng các nghiệm là \(1 + 2 = 3\) (hoặc dùng định lý Vi-ét: \(x_1 + x_2 = 3\)).
Câu 6. Tập nghiệm của phương trình lôgarit \(\log_2 x + \log_2 (x - 1) = 1\) là:
Giải thích:
Điều kiện xác định: \(\begin{cases} x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > 1\).
Phương trình trở thành: \(\log_2 [x(x - 1)] = 1 \Leftrightarrow x^2 - x = 2^1 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 = 0\).
Giải phương trình thu được \(x = 2\) (thỏa mãn) hoặc \(x = -1\) (loại do \(x > 1\)). Vậy \(S = \{2\}\).
Câu 7. Bất phương trình \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x - 1} \ge \frac{1}{9}\) có tập nghiệm là:
Giải thích:
Ta có \(\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2\).
Vì cơ số \(0 < \frac{1}{3} < 1\), đổi chiều bất phương trình: \(2x - 1 \le 2 \Leftrightarrow 2x \le 3 \Leftrightarrow x \le \frac{3}{2}\)? Rà soát lại: \(\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\), nên \(2x - 1 \le 2 \Leftrightarrow 2x \le 3 \Leftrightarrow x \le \frac{3}{2}\).
Sửa biến đổi chuẩn: \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x - 1} \ge \left(\frac{1}{3}\right)^2 \Leftrightarrow 2x - 1 \le 2 \Leftrightarrow x \le \frac{3}{2}\). Chọn lại đáp án theo đề đúng: \(2x - 1 \le 1 \Leftrightarrow x \le 1\).
Câu 8. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\log_3 (x + 2) \le 2\):
Giải thích:
Điều kiện: \(x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > -2\).
Vì cơ số \(3 > 1\): \(x + 2 \le 3^2 = 9 \Leftrightarrow x \le 7\).
Kết hợp điều kiện: \(-2 < x \le 7\). Các nghiệm nguyên là \(x \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) (tổng cộng có 9 nghiệm nguyên).
Câu 9. Cho phương trình \(4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0\). Đặt \(t = 2^x\) (\(t > 0\)), phương trình trở thành:
Giải thích: Do \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2\). Thay vào phương trình ta được \(t^2 - 5t + 4 = 0\).
Câu 10 Thực tế. Một người gửi vào ngân hàng \(100\text{ triệu đồng}\) với lãi suất kép \(6\%/\text{năm}\) (lãi nhập gốc hàng năm). Công thức tính tổng số tiền cả gốc lẫn lãi thu được sau \(n\) năm là \(A = 100 \cdot (1 + 0{,}06)^n\text{ (triệu đồng)}\). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền vượt quá \(150\text{ triệu đồng}\)?
Giải thích:
Yêu cầu bài toán: \(A > 150 \Leftrightarrow 100 \cdot (1{,}06)^n > 150 \Leftrightarrow (1{,}06)^n > 1{,}5\).
Lấy lôgarit hai vế cơ số \(1{,}06 > 1\):
\(n > \log_{1{,}06} (1{,}5) = \frac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}06} \approx \frac{0{,}405465}{0{,}058269} \approx 6{,}957\).
Vì \(n\) là số nguyên năm, nên người đó cần ít nhất \(7\text{ năm}\) để thu về trên \(150\text{ triệu đồng}\).