📘 BÀI HỌC TOÁN 11: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
Chương VI: Hàm số mũ và hàm số logarit (Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Phương trình mũ
Phương trình mũ cơ bản có dạng: \(a^x = b\) (với \(a > 0, a \neq 1\)).
- Nếu \(b \le 0\): Phương trình **vô nghiệm**.
- Nếu \(b > 0\): Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \log_a b\).
Dạng tổng quát: \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\) (với \(a > 0, a \neq 1\)).
\[a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)\]2. Phương trình lôgarit
Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: \(\log_a x = b\) (với \(a > 0, a \neq 1\)).
Phương trình luôn có nghiệm duy nhất: \(x = a^b\).
Dạng tổng quát: \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\) (với \(a > 0, a \neq 1\)).
\[\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff \begin{cases} f(x) > 0 \text{ (hoặc } g(x) > 0) \\ f(x) = g(x) \end{cases}\]3. Bất phương trình mũ
- Nếu \(b \le 0\): Bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
- Nếu \(b > 0\):
- Khi \(a > 1\): \(a^x > b \iff x > \log_a b\) (giữ nguyên chiều).
- Khi \(0 < a < 1\): \(a^x > b \iff x < \log_a b\) (đổi chiều).
- Khi \(a > 1\): \(a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)\) (giữ nguyên chiều).
- Khi \(0 < a < 1\): \(a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)\) (đổi chiều bất phương trình).
4. Bất phương trình lôgarit
- Khi \(a > 1\): \(\log_a x > b \iff x > a^b\).
- Khi \(0 < a < 1\): \(\log_a x > b \iff 0 < x < a^b\).
- Khi \(a > 1\): \[\log_a f(x) > \log_a g(x) \iff \begin{cases} g(x) > 0 \\ f(x) > g(x) \end{cases}\]
- Khi \(0 < a < 1\): \[\log_a f(x) > \log_a g(x) \iff \begin{cases} f(x) > 0 \\ f(x) < g(x) \end{cases}\]
5. Các phương pháp giải thường gặp
Sử dụng các công thức biến đổi mũ và lôgarit để đưa hai vế về cùng cơ số \(a\).
- Đối với phương trình mũ dạng \(A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x + C = 0\): Đặt \(t = a^x \quad (t > 0)\).
- Đối với phương trình lôgarit dạng \(A \cdot \log_a^2 x + B \cdot \log_a x + C = 0\): Đặt \(t = \log_a x\).
Dùng khi hai vế chứa các cơ số khác nhau không thể đưa về cùng cơ số. Lấy lôgarit hai vế theo một cơ số thích hợp.
6. Ví dụ minh họa
Giải phương trình: \(2^{x^2 - 3x + 2} = 4\).
Ta biến đổi vế phải về cơ số 2:
\[2^{x^2 - 3x + 2} = 2^2\] \[\iff x^2 - 3x + 2 = 2\] \[\iff x^2 - 3x = 0\] \[\iff \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 3 \end{array}\right.\]Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{0; 3\}\).
Giải phương trình: \(\log_2^2 x - 3\log_2 x + 2 = 0\).
• Điều kiện: \(x > 0\).
• Đặt \(t = \log_2 x\), phương trình trở thành:
\[t^2 - 3t + 2 = 0 \iff \left[\begin{array}{l} t = 1 \\ t = 2 \end{array}\right.\]• Với \(t = 1 \Rightarrow \log_2 x = 1 \iff x = 2^1 = 2\) (Thỏa mãn).
• Với \(t = 2 \Rightarrow \log_2 x = 2 \iff x = 2^2 = 4\) (Thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{2; 4\}\).
Giải bất phương trình: \(\log_{0.5}(2x - 1) \ge -1\).
• Điều kiện xác định: \(2x - 1 > 0 \iff x > \frac{1}{2}\).
• Vì cơ số \(a = 0.5 \in (0; 1)\) nên ta đổi chiều bất phương trình:
\[\log_{0.5}(2x - 1) \ge -1 \iff 2x - 1 \le (0.5)^{-1}\] \[\iff 2x - 1 \le 2 \iff 2x \le 3 \iff x \le \frac{3}{2}\]• Kết hợp với điều kiện xác định \(x > \frac{1}{2}\), ta có tập nghiệm:
\[S = \left(\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right]\]7. Luyện tập tự giải
a) \(3^{2x - 1} = 27\)
b) \(\log_3(x - 2) + \log_3(x) = 1\)
c) \(4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0\)
a) \(\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^{x + 1} > 9\)
b) \(\log_2(3x - 1) > 3\)
c) \(\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 7) \ge 0\)
8. Ghi nhớ & Bẫy cần tránh
- Quên đặt Điều kiện xác định (ĐKXĐ): Rất hay xảy ra ở các bài toán chứa lôgarit. Phải tìm ĐKXĐ trước tiên rồi mới biến đổi!
- Quên đổi chiều bất phương trình: Khi cơ số nằm trong khoảng \(0 < a < 1\), nếu bỏ hoặc áp dụng lôgarit hai vế thì phải đổi chiều bất phương trình.
- Quên điều kiện ẩn phụ \(t > 0\): Khi đặt ẩn phụ \(t = a^x\) cho hàm số mũ, nghiệm \(t\) tìm được bắt buộc phải thỏa mãn \(t > 0\).
| Loại BPT | Cơ số \(a > 1\) | Cơ số \(0 < a < 1\) |
|---|---|---|
| \(a^{f(x)} > a^{g(x)}\) | \(f(x) > g(x)\) (Giữ chiều) | \(f(x) < g(x)\) (Đổi chiều) |
| \(\log_a f(x) > \log_a g(x)\) | \(\begin{cases} g(x) > 0 \\ f(x) > g(x) \end{cases}\) | \(\begin{cases} f(x) > 0 \\ f(x) < g(x) \end{cases}\) |