BÀI 21: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)
a) \(3^{x-1} = 27\);
b) \(100^{2x^2-3} = 0,1^{2x^2-18}\);
c) \(\sqrt{3} e^{3x} = 1\);
d) \(5^x = 3^{2x-1}\).
a) \(3^{x-1} = 27\):
\[3^{x-1} = 3^3 \Leftrightarrow x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4\]Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{4\}\).
b) \(100^{2x^2-3} = 0,1^{2x^2-18}\):
Đưa về cơ số 10:
\[(10^2)^{2x^2-3} = (10^{-1})^{2x^2-18} \Leftrightarrow 10^{4x^2-6} = 10^{-2x^2+18}\] \[\Leftrightarrow 4x^2 - 6 = -2x^2 + 18 \Leftrightarrow 6x^2 = 24 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\]Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{-2; 2\}\).
c) \(\sqrt{3} e^{3x} = 1\):
\[e^{3x} = \frac{1}{\sqrt{3}} = 3^{-\frac{1}{2}}\]Lấy lôgarit tự nhiên hai vế:
\[3x = \ln\left(3^{-\frac{1}{2}}\right) = -\frac{1}{2}\ln 3 \Leftrightarrow x = -\frac{\ln 3}{6}\]Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{-\frac{\ln 3}{6}\right\}\).
d) \(5^x = 3^{2x-1}\):
Lấy lôgarit cơ số 5 hai vế:
\[\log_5(5^x) = \log_5(3^{2x-1}) \Leftrightarrow x = (2x - 1)\log_5 3\] \[\Leftrightarrow x = 2x\log_5 3 - \log_5 3 \Leftrightarrow x(1 - 2\log_5 3) = -\log_5 3\] \[\Leftrightarrow x = \frac{\log_5 3}{2\log_5 3 - 1}\]Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{\frac{\log_5 3}{2\log_5 3 - 1}\right\}\).
a) \(\log(x + 1) = 2\);
b) \(2\log_4 x + \log_2(x - 3) = 2\);
c) \(\ln x + \ln(x - 1) = \ln 4x\);
d) \(\log_3(x^2 - 3x + 2) = \log_3(2x - 4)\).
a) \(\log(x + 1) = 2\):
Điều kiện: \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > -1\).
\[\log(x + 1) = 2 \Leftrightarrow x + 1 = 10^2 = 100 \Leftrightarrow x = 99 \text{ (thỏa mãn)}\]Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 99\).
b) \(2\log_4 x + \log_2(x - 3) = 2\):
Điều kiện: \(\begin{cases} x > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > 3\).
Ta có: \(2\log_4 x = 2\log_{2^2} x = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_2 x = \log_2 x\).
Phương trình trở thành:
\[\log_2 x + \log_2(x - 3) = 2 \Leftrightarrow \log_2[x(x - 3)] = 2\] \[\Leftrightarrow x(x - 3) = 2^2 = 4 \Leftrightarrow x^2 - 3x - 4 = 0\] \[\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = -1 \text{ (loại)} \\ x = 4 \text{ (thỏa mãn)} \end{bmatrix}\]Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 4\).
c) \(\ln x + \ln(x - 1) = \ln 4x\):
Điều kiện: \(\begin{cases} x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > 1\).
Phương trình biến đổi:
\[\ln[x(x - 1)] = \ln 4x \Leftrightarrow x(x - 1) = 4x\] \[\Leftrightarrow x^2 - 5x = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 0 \text{ (loại)} \\ x = 5 \text{ (thỏa mãn)} \end{bmatrix}\]Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 5\).
d) \(\log_3(x^2 - 3x + 2) = \log_3(2x - 4)\):
Điều kiện: \(2x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 2\).
Phương trình tương đương:
\[x^2 - 3x + 2 = 2x - 4 \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 2 \text{ (loại)} \\ x = 3 \text{ (thỏa mãn)} \end{bmatrix}\]Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 3\).
a) \(0,1^{2-x} > 0,1^{4+2x}\);
b) \(2 \cdot 5^{2x+1} \le 3\);
c) \(\log_3(x + 7) \ge -1\);
d) \(\log_{0,5}(x + 7) \ge \log_{0,5}(2x - 1)\).
a) \(0,1^{2-x} > 0,1^{4+2x}\):
Vì cơ số \(0 < 0,1 < 1\), đổi chiều bất phương trình:
\[2 - x < 4 + 2x \Leftrightarrow -3x < 2 \Leftrightarrow x > -\frac{2}{3}\]Vậy tập nghiệm là \(S = \left(-\frac{2}{3}; +\infty\right)\).
b) \(2 \cdot 5^{2x+1} \le 3\):
\[5^{2x+1} \le \frac{3}{2}\]Vì cơ số \(5 > 1\), lấy lôgarit cơ số 5 hai vế:
\[2x + 1 \le \log_5\left(\frac{3}{2}\right) \Leftrightarrow 2x \le \log_5\left(\frac{3}{2}\right) - 1 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{2}\log_5\left(\frac{3}{2}\right) - \frac{1}{2}\]Vậy tập nghiệm là \(S = \left(-\infty; \frac{1}{2}\log_5\left(\frac{3}{2}\right) - \frac{1}{2}\right]\).
c) \(\log_3(x + 7) \ge -1\):
Điều kiện: \(x + 7 > 0 \Leftrightarrow x > -7\).
Vì cơ số \(3 > 1\):
\[x + 7 \ge 3^{-1} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{3} - 7 = -\frac{20}{3}\]Kết hợp điều kiện \(x > -7\), ta thu được \(x \ge -\frac{20}{3}\).
Vậy tập nghiệm là \(S = \left[-\frac{20}{3}; +\infty\right)\).
d) \(\log_{0,5}(x + 7) \ge \log_{0,5}(2x - 1)\):
Điều kiện: \(\begin{cases} x + 7 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\).
Vì cơ số \(0 < 0,5 < 1\), đổi chiều bất phương trình:
\[x + 7 \le 2x - 1 \Leftrightarrow x \ge 8\]Kết hợp điều kiện \(x > \frac{1}{2}\), ta có \(x \ge 8\).
Vậy tập nghiệm là \(S = [8; +\infty)\).
Để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng, ta có bất phương trình:
\[500 \cdot (1,075)^n \ge 800 \Leftrightarrow 1,075^n \ge \frac{800}{500} = 1,6\]Lấy lôgarit cơ số 1,075 hai vế (do \(1,075 > 1\)):
\[n \ge \log_{1,075}(1,6) \approx 6,48\]Vì \(n\) là số nguyên năm (do kỳ hạn là 12 tháng), nên bác Minh cần gửi tối thiểu 7 năm.
Số lượng vi khuẩn vượt mức 80 000 con khi:
\[500 e^{0,4t} > 80\,000 \Leftrightarrow e^{0,4t} > \frac{80\,000}{500} = 160\]Lấy lôgarit tự nhiên hai vế:
\[0,4t > \ln(160) \Leftrightarrow t > \frac{\ln(160)}{0,4} \approx 12,69\text{ (giờ)}\]Vậy sau khoảng 12,7 giờ (hoặc hơn 12,69 giờ) nuôi cấy thì số lượng vi khuẩn sẽ vượt mức 80 000 con.
a) Tìm nhiệt độ ban đầu của vật.
b) Sau bao lâu nhiệt độ của vật còn lại \(30^\circ\text{C}\)?
a) Nhiệt độ ban đầu của vật (khi \(t = 0\)):
\[T(0) = 25 + 70 e^{-0,5 \times 0} = 25 + 70 \times 1 = 95^\circ\text{C}\]Nhiệt độ ban đầu của vật là \(95^\circ\text{C}\).
b) Thời gian để nhiệt độ của vật còn lại \(30^\circ\text{C}\):
Thay \(T = 30\) vào công thức:
\[25 + 70 e^{-0,5t} = 30 \Leftrightarrow 70 e^{-0,5t} = 5 \Leftrightarrow e^{-0,5t} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14}\] \[\Leftrightarrow -0,5t = \ln\left(\frac{1}{14}\right) = -\ln 14 \Leftrightarrow t = \frac{\ln 14}{0,5} = 2\ln 14 \approx 5,28\text{ (phút)}\]Vậy sau khoảng 5,28 phút (khoảng 5 phút 17 giây) thì nhiệt độ của vật còn lại \(30^\circ\text{C}\).
Công thức tính độ pH theo nồng độ ion hydrogen \([\text{H}^+]\) là:
\[\text{pH} = -\log[\text{H}^+]\]Theo đề bài \(\text{pH} = 8\), ta có:
\[-\log[\text{H}^+] = 8 \Leftrightarrow \log[\text{H}^+] = -8 \Leftrightarrow [\text{H}^+] = 10^{-8}\text{ (mol/lít)}\]Vậy nồng độ ion hydrogen của dung dịch đó là \(10^{-8}\text{ mol/lít}\).