Câu 1. Tập xác định của hàm số mũ \(y = 3^x\) là:
Giải thích: Hàm số mũ \(y = a^x\) (với \(a > 0, a \neq 1\)) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\).
Câu 2. Tập xác định của hàm số lôgarit \(y = \log_2 (x - 3)\) là:
Giải thích: Hàm số lôgarit xác định khi biểu thức dưới dấu lôgarit dương: \(x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3\). Do đó tập xác định là \(D = (3; +\infty)\).
Câu 3. Hàm số nào sau đây **đồng biến** trên tập xác định của nó?
Giải thích: Hàm số mũ và hàm số lôgarit đồng biến khi cơ số \(a > 1\). Ở phương án B, cơ số \(a = \sqrt{3} \approx 1{,}732 > 1\) nên hàm số \(y = \log_{\sqrt{3}} x\) đồng biến.
Câu 4. Đồ thị của hàm số mũ \(y = a^x\) (\(a > 0, a \neq 1\)) luôn đi qua điểm nào sau đây?
Giải thích: Vì \(a^0 = 1\) với mọi \(a > 0\), đồ thị hàm số \(y = a^x\) luôn đi qua điểm \((0; 1)\) trên trục tung.
Câu 5. Đồ thị của hàm số lôgarit \(y = \log_a x\) (\(a > 0, a \neq 1\)) nhận đường thẳng nào làm tiệm cận đứng?
Giải thích: Đồ thị hàm số \(y = \log_a x\) nhận trục tung \(Oy\) (phương trình \(x = 0\)) làm tiệm cận đứng.
Câu 6. Hàm số nào sau đây **nghịch biến** trên khoảng \((0; +\infty)\)?
Giải thích: Hàm số lôgarit nghịch biến khi cơ số \(0 < a < 1\). Vì cơ số \(a = \frac{1}{2}\) thỏa mãn \(0 < \frac{1}{2} < 1\) nên hàm số \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) nghịch biến.
Câu 7. Tập giá trị của hàm số mũ \(y = 5^x\) là:
Giải thích: Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta luôn có \(5^x > 0\). Do đó tập giá trị của hàm số là \(T = (0; +\infty)\).
Câu 8. Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = \log_5 (9 - x^2)\):
Giải thích: Điều kiện xác định: \(9 - x^2 > 0 \Leftrightarrow x^2 < 9 \Leftrightarrow -3 < x < 3\). Vậy \(D = (-3; 3)\).
Câu 9. Cho hai hàm số \(y = a^x\) và \(y = b^x\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới (với \(a, b > 0\)). Khẳng định nào sau đây là đúng nếu biết hàm số \(y = a^x\) đồng biến còn \(y = b^x\) nghịch biến?
Giải thích: Hàm số \(y = a^x\) đồng biến nên cơ số \(a > 1\). Hàm số \(y = b^x\) nghịch biến nên cơ số \(0 < b < 1\). Từ đó suy ra \(0 < b < 1 < a\).
Câu 10 Thực tế. Sự tăng trưởng dân số của một tỉnh được tính theo công thức mô hình hàm số mũ \(P(t) = P_0 \cdot e^{r \cdot t}\), trong đó \(P_0\) là dân số ban đầu, \(r\) là tỷ lệ tăng dân số hàng năm, và \(t\) là số năm. Biết dân số ban đầu \(P_0 = 2\text{ triệu người}\) và tỷ lệ tăng dân số là \(r = 1{,}2\%/\text{năm}\) (\(r = 0{,}012\)). Hỏi sau bao nhiêu năm dân số tỉnh đó đạt khoảng \(2{,}5\text{ triệu người}\)? (Làm tròn đến hàng đơn vị).
Giải thích:
Thay các giá trị đã biết vào công thức dân số:
\(2{,}5 = 2 \cdot e^{0{,}012 \cdot t} \Leftrightarrow e^{0{,}012 \cdot t} = \frac{2{,}5}{2} = 1{,}25\).
Lấy lôgarit tự nhiên (\(\ln\)) hai vế:
\(0{,}012 \cdot t = \ln(1{,}25) \Rightarrow t = \frac{\ln(1{,}25)}{0{,}012} \approx \frac{0{,}22314}{0{,}012} \approx 18{,}59\text{ năm}\).
Làm tròn đến hàng đơn vị thu được kết quả khoảng \(19\text{ năm}\).