Bài học Toán THPT - Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit

📘 BÀI HỌC TOÁN 11: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

Chương VI: Hàm số mũ và hàm số logarit (Kết nối tri thức với cuộc sống)

📚 Nội dung bài học

1. Khái niệm Hàm số mũ và Hàm số lôgarit

📌 1. Hàm số mũ:

Cho số thực dương \(a \neq 1\). Hàm số có dạng:

\[y = a^x\]

được gọi là hàm số mũ cơ số \(a\).

  • Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
  • Tập giá trị: \(T = (0; +\infty)\).
📌 2. Hàm số lôgarit:

Cho số thực dương \(a \neq 1\). Hàm số có dạng:

\[y = \log_a x\]

được gọi là hàm số lôgarit cơ số \(a\).

  • Tập xác định: \(D = (0; +\infty)\).
  • Tập giá trị: \(T = \mathbb{R}\).
⚠️ Chú ý về TXĐ của hàm hợp:
  • Hàm số \(y = a^{u(x)}\) xác định khi và chỉ khi biểu thức \(u(x)\) xác định.
  • Hàm số \(y = \log_a [u(x)]\) xác định khi và chỉ khi \(u(x) > 0\) và biểu thức \(u(x)\) xác định.

2. Tính chất của Hàm số mũ \(y = a^x\)

📌 Bảng sự biến thiên của Hàm số mũ:
  • Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
  • Tập giá trị: \((0; +\infty)\) (Đồ thị luôn nằm hoàn toàn phía trên trục hoành \(Ox\)).
  • Điểm đặc biệt: Đồ thị luôn đi qua điểm \((0; 1)\) vì \(a^0 = 1\).
  • Tiệm cận: Trục hoành \(Ox\) (đường thẳng \(y = 0\)) là **tiệm cận ngang**.
  • Tính đơn điệu:
    • Nếu \(a > 1\): Hàm số **đồng biến** trên \(\mathbb{R}\).
    • Nếu \(0 < a < 1\): Hàm số **nghịch biến** trên \(\mathbb{R}\).

3. Tính chất của Hàm số lôgarit \(y = \log_a x\)

📌 Bảng sự biến thiên của Hàm số lôgarit:
  • Tập xác định: \(D = (0; +\infty)\).
  • Tập giá trị: \(\mathbb{R}\) (Đồ thị trải dài trên toàn bộ trục tung \(Oy\)).
  • Điểm đặc biệt: Đồ thị luôn đi qua điểm \((1; 0)\) vì \(\log_a 1 = 0\).
  • Tiệm cận: Trục tung \(Oy\) (đường thẳng \(x = 0\)) là **tiệm cận đứng**.
  • Tính đơn điệu:
    • Nếu \(a > 1\): Hàm số **đồng biến** trên \((0; +\infty)\).
    • Nếu \(0 < a < 1\): Hàm số **nghịch biến** trên \((0; +\infty)\).

4. Đồ thị và Quan hệ đối xứng

📌 Tương quan giữa hai đồ thị:

Hai hàm số \(y = a^x\) và \(y = \log_a x\) (cùng cơ số \(a > 0, a \neq 1\)) là hai **hàm số ngược nhau**.

👉 Đồ thị của hàm số mũ \(y = a^x\) và đồ thị hàm số lôgarit \(y = \log_a x\) **đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x\)** (phân giác của góc phần tư thứ nhất).

💡 Hình dáng đồ thị dựa theo cơ số \(a\):
  • Trường hợp \(a > 1\): Cả hai đồ thị đều đi lên từ trái sang phải.
  • Trường hợp \(0 < a < 1\): Cả hai đồ thị đều đi xuống từ trái sang phải.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Tìm tập xác định của hàm số lôgarit

Tìm tập xác định của hàm số \(y = \log_3 (x^2 - 4x + 3)\).

Lời giải:

Hàm số xác định khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu lôgarit dương:

\[x^2 - 4x + 3 > 0\]

Giải bất phương trình bậc hai:

\[\left[\begin{array}{l} x < 1 \\ x > 3 \end{array}\right.\]

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)\).

Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và so sánh giá trị

So sánh hai số: \(A = \log_{0.5} 3\) và \(B = \log_{0.5} 5\).

Lời giải:

• Xét hàm số lôgarit \(y = \log_{0.5} x\).

• Vì cơ số \(a = 0.5 \in (0; 1)\) nên hàm số này **nghịch biến** trên khoảng \((0; +\infty)\).

• Vì \(3 < 5\) nên do tính nghịch biến ta suy ra:

\[\log_{0.5} 3 > \log_{0.5} 5 \Rightarrow A > B\]
Ví dụ 3 Nhận dạng đồ thị và cơ số

Cho ba đồ thị hàm số mũ \(y = a^x\), \(y = b^x\), \(y = c^x\) có đồ thị như dưới mô tả (hàm \(a^x\) và \(b^x\) đồng biến với \(b^x\) dốc hơn \(a^x\), hàm \(c^x\) nghịch biến). So sánh các cơ số \(a, b, c\) với số \(1\).

Lời giải:

• Hàm số \(y = c^x\) đi xuống từ trái sang phải \(\Rightarrow\) Hàm số nghịch biến \(\Rightarrow 0 < c < 1\).

• Các hàm số \(y = a^x, y = b^x\) đi lên từ trái sang phải \(\Rightarrow\) Hàm số đồng biến \(\Rightarrow a > 1, b > 1\).

• Kẻ đường thẳng đứng \(x = 1\) cắt hai đồ thị tại \((1; a)\) và \((1; b)\). Đường nào nằm phía trên sẽ cho giá trị tung độ lớn hơn \(\Rightarrow b > a\).

Vậy thứ tự sắp xếp đúng là: \(0 < c < 1 < a < b\).

6. Luyện tập tự giải

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y = \ln(2x - 6)\)
b) \(y = \log_2 \left(\dfrac{x + 2}{1 - x}\right)\)
c) \(y = e^{\displaystyle\frac{1}{x - 2}}\)
Bài 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a) \(y = \left(\dfrac{\pi}{3}\right)^x\)
b) \(y = \log_{\sqrt{3}-1} x\)
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2^x\) trên đoạn \([-1; 2]\).

7. Ghi nhớ & Mẹo giải bài tập Hàm số Mũ & Lôgarit

🎯 Mẹo nhận dạng nhanh thứ tự cơ số từ đồ thị:
  • Đối với hàm số mũ \(y = a^x, y = b^x, \dots\): Kẻ đường thẳng **đứng** \(x = 1\). Giao điểm với đồ thị nào có tung độ cao hơn thì cơ số đó lớn hơn.
  • Đối với hàm số lôgarit \(y = \log_a x, y = \log_b x, \dots\): Kẻ đường thẳng **nằm ngang** \(y = 1\). Giao điểm với đồ thị nào có hoành độ xa trục tung hơn thì cơ số đó lớn hơn.
💡 So sánh nhanh Tập xác định & Tập giá trị (Dễ lẫn lộn):
Đặc điểm Hàm số Mũ \(y = a^x\) Hàm số Lôgarit \(y = \log_a x\)
Tập xác định \(D\) \(\mathbb{R}\) \((0; +\infty)\)
Tập giá trị \(T\) \((0; +\infty)\) \(\mathbb{R}\)
Đường tiệm cận Ngang \(y = 0\) (trục \(Ox\)) Đứng \(x = 0\) (trục \(Oy\))
Điểm cố định \((0; 1)\) \((1; 0)\)