BÀI 20: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)
a) \(y = 3^x\);
b) \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^x\).
a) Hàm số \(y = 3^x\):
- Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
- Do cơ số \(3 > 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
- Bảng giá trị:
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|---|
| \(y = 3^x\) | \(\frac{1}{3}\) | \(1\) | \(3\) |
Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left(-1; \frac{1}{3}\right)\), \((0; 1)\), \((1; 3)\), nhận trục hoành \(Ox\) làm tiệm cận ngang và nằm hoàn toàn phía trên trục hoành.
b) Hàm số \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^x\):
- Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
- Do cơ số \(0 < \frac{1}{3} < 1\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
- Bảng giá trị:
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|---|
| \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^x\) | \(3\) | \(1\) | \(\frac{1}{3}\) |
Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((-1; 3)\), \((0; 1)\), \(\left(1; \frac{1}{3}\right)\), nhận trục hoành \(Ox\) làm tiệm cận ngang và đối xứng với đồ thị \(y = 3^x\) qua trục tung \(Oy\).
a) \(y = \log x\);
b) \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\).
a) Hàm số \(y = \log x\) (lôgarit cơ số 10):
- Tập xác định: \(D = (0; +\infty)\).
- Do cơ số \(10 > 1\) nên hàm số đồng biến trên \((0; +\infty)\).
- Bảng giá trị:
| \(x\) | \(\frac{1}{10}\) | \(1\) | \(10\) |
|---|---|---|---|
| \(y = \log x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left(\frac{1}{10}; -1\right)\), \((1; 0)\), \((10; 1)\), nhận trục tung \(Oy\) làm tiệm cận đứng và nằm bên phải trục tung.
b) Hàm số \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\):
- Tập xác định: \(D = (0; +\infty)\).
- Do cơ số \(0 < \frac{1}{3} < 1\) nên hàm số nghịch biến trên \((0; +\infty)\).
- Bảng giá trị:
| \(x\) | \(\frac{1}{3}\) | \(1\) | \(3\) |
|---|---|---|---|
| \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) |
Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left(\frac{1}{3}; 1\right)\), \((1; 0)\), \((3; -1)\), nhận trục tung \(Oy\) làm tiệm cận đứng.
a) \(y = \log|x + 3|\);
b) \(y = \ln(4 - x^2)\).
a) \(y = \log|x + 3|\):
Hàm số xác định khi và chỉ khi biểu thức dưới dấu lôgarit dương:
\[|x + 3| > 0 \Leftrightarrow x + 3 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -3\]Vậy tập xác định là \(D = \mathbb{R} \setminus \{-3\} = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)\).
b) \(y = \ln(4 - x^2)\):
Hàm số xác định khi và chỉ khi:
\[4 - x^2 > 0 \Leftrightarrow x^2 < 4 \Leftrightarrow -2 < x < 2\]Vậy tập xác định là \(D = (-2; 2)\).
a) Tìm khối lượng của chất đó tại thời điểm \(t = 0\).
b) Sau 45 ngày khối lượng chất đó còn lại là bao nhiêu?
a) Khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm \(t = 0\):
Thay \(t = 0\) vào công thức \(m(t)\):
\[m(0) = 13e^{-0,015 \times 0} = 13e^0 = 13 \times 1 = 13\text{ (kg)}\]Vậy khối lượng ban đầu của chất phóng xạ là \(13\text{ kg}\).
b) Khối lượng còn lại sau 45 ngày (\(t = 45\)):
Thay \(t = 45\) vào công thức \(m(t)\):
\[m(45) = 13e^{-0,015 \times 45} = 13e^{-0,675} \approx 6,62\text{ (kg)}\]Vậy sau 45 ngày khối lượng chất đó còn lại khoảng \(6,62\text{ kg}\).
Sau 6 tháng, tức là \(t = 6\). Thay \(t = 6\) vào công thức \(M(t)\):
\[M(6) = 75 - 20\ln(6 + 1) = 75 - 20\ln 7\]Tính giá trị gần đúng:
\[M(6) \approx 75 - 20 \times 1,9459 = 75 - 38,92 = 36,08\%\]Vậy sau 6 tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó khoảng \(36,08\%\).