Câu 1. Cho \(a > 0, a \neq 1\) và \(b > 0\). Đẳng thức nào sau đây đúng theo định nghĩa lôgarit?
Giải thích: Theo định nghĩa lôgarit cơ số \(a\) của số dương \(b\) là số thực \(\alpha\) sao cho \(a^\alpha = b\).
Câu 2. Giá trị của biểu thức \(\log_2 32\) bằng:
Giải thích: Ta có \(32 = 2^5\), do đó \(\log_2 32 = \log_2 (2^5) = 5\).
Câu 3. Với mọi số thực dương \(a, b\) thỏa mãn \(a \neq 1\), khẳng định nào sau đây **sai**?
Giải thích: Khẳng định B sai vì lôgarit của một tổng không bằng tổng các lôgarit. Công thức đúng phải là lôgarit của một tích: \(\log_a (b_1 \cdot b_2) = \log_a b_1 + \log_a b_2\).
Câu 4. Cho \(a > 0, a \neq 1\) và \(b > 0\). Biểu thức \(a^{\log_a b}\) có giá trị bằng:
Giải thích: Theo tính chất cơ bản của lôgarit, ta luôn có \(a^{\log_a b} = b\).
Câu 5. Cho \(a, b > 0\) và \(a \neq 1\). Biến đổi biểu thức \(P = \log_a (a^3 \cdot b^2)\) thành dạng thu gọn:
Giải thích: Ta có \(P = \log_a(a^3) + \log_a(b^2) = 3\log_a a + 2\log_a b = 3 + 2\log_a b\).
Câu 6. Đổi cơ số cho lôgarit: Công thức nào sau đây đúng với \(a, b, c > 0\) và \(a, c \neq 1\)?
Giải thích: Đây là công thức đổi cơ số chuẩn trong SGK: \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\).
Câu 7. Biết \(\log_2 3 = a\). Tính \(\log_4 18\) theo \(a\):
Giải thích:
Ta có \(\log_4 18 = \log_{2^2} (2 \cdot 3^2) = \frac{1}{2} \log_2 (2 \cdot 3^2) = \frac{1}{2} (\log_2 2 + \log_2 3^2) = \frac{1}{2} (1 + 2\log_2 3) = \frac{1}{2} (1 + 2a) = a + \frac{1}{2}\).
Câu 8. Giá trị của biểu thức \(A = \log_{\frac{1}{3}} 9 - \ln e^3\) bằng:
Giải thích:
- \(\log_{\frac{1}{3}} 9 = \log_{3^{-1}} (3^2) = -2\).
- \(\ln e^3 = 3\).
- Do đó \(A = -2 - 3 = -5\).
Câu 9. Với mọi số thực dương \(a, b\) thỏa mãn \(a^2 + b^2 = 7ab\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Giải thích:
Biến đổi: \(a^2 + b^2 = 7ab \Leftrightarrow a^2 + 2ab + b^2 = 9ab \Leftrightarrow (a+b)^2 = 9ab \Leftrightarrow \left(\frac{a+b}{3}\right)^2 = ab\).
Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế: \(\log \left(\frac{a+b}{3}\right)^2 = \log(ab) \Leftrightarrow 2\log \frac{a+b}{3} = \log a + \log b \Leftrightarrow \log \frac{a+b}{3} = \frac{1}{2}(\log a + \log b)\).
Câu 10 Thực tế. Độ pH của một dung dịch được tính theo công thức \(\text{pH} = -\log [H^+]\), trong đó \([H^+]\) là nồng độ ion Hydrogen tính bằng \(\text{mol/L}\). Biết một dung dịch nước cam có nồng độ ion \([H^+] = 10^{-3{,}5}\text{ mol/L}\). Độ pH của dung dịch nước cam này là:
Giải thích:
Thay \([H^+] = 10^{-3{,}5}\) vào công thức tính độ pH:
\(\text{pH} = -\log(10^{-3{,}5}) = -(-3{,}5) \cdot \log 10 = 3{,}5 \cdot 1 = 3{,}5\).