📘 BÀI HỌC TOÁN 11: LÔGARIT
Chương VI: Hàm số mũ và hàm số logarit (Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Khái niệm Lôgarit
Cho hai số dương \(a, b\) với \(a \neq 1\). Số thực \(\alpha\) thỏa mãn đẳng thức \(a^\alpha = b\) được gọi là lôgarit cơ số \(a\) của \(b\), ký hiệu là \(\log_a b\).
\[\alpha = \log_a b \iff a^\alpha = b\]- Cơ số \(a > 0\) và \(a \neq 1\).
- Số dưới dấu lôgarit \(b > 0\).
Với \(a > 0, a \neq 1\) và \(b > 0\):
- \(\log_a 1 = 0\)
- \(\log_a a = 1\)
- \(\log_a (a^\alpha) = \alpha\)
- \(a^{\log_a b} = b\)
2. Các tính chất của Lôgarit
Cho các số dương \(a, b_1, b_2\) với \(a \neq 1\):
- Lôgarit của một tích: \[\log_a (b_1 \cdot b_2) = \log_a b_1 + \log_a b_2\]
- Lôgarit của một thương: \[\log_a \left(\displaystyle\frac{b_1}{b_2}\right) = \log_a b_1 - \log_a b_2\]
Cho \(a, b > 0, a \neq 1\) và số thực \(\alpha\):
\[\log_a (b^\alpha) = \alpha \log_a b\]Đặc biệt vớI căn thức: \(\log_a \sqrt[n]{b} = \displaystyle\frac{1}{n} \log_a b\)
3. Công thức đổi cơ số
Cho các số dương \(a, b, c\) với \(a \neq 1, c \neq 1\):
\[\log_a b = \displaystyle\frac{\log_c b}{\log_c a}\]- \(\log_a b = \displaystyle\frac{1}{\log_b a} \quad (b \neq 1)\)
- \(\log_{a^\beta} b = \displaystyle\frac{1}{\beta} \log_a b \quad (\beta \neq 0)\)
- \(\log_{a^\beta} (b^\alpha) = \displaystyle\frac{\alpha}{\beta} \log_a b\)
4. Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên
- Là lôgarit cơ số \(10\).
- Ký hiệu: \(\log_{10} b\) thường viết tắt là \(\log b\) hoặc \(\lg b\).
- Là lôgarit cơ số \(e\) (trong đó \(e \approx 2,718281828...\)).
- Ký hiệu: \(\log_e b\) được viết tắt là \(\ln b\).
5. Ví dụ minh họa
Tính giá trị của biểu thức \(A = \log_2 16 + \log_3 \displaystyle\frac{1}{27} - \ln(e^4)\).
Biến đổi các số về dạng lũy thừa của cơ số:
• \(\log_2 16 = \log_2 (2^4) = 4\)
• \(\log_3 \displaystyle\frac{1}{27} = \log_3 (3^{-3}) = -3\)
• \(\ln(e^4) = 4\)
Thay vào biểu thức \(A\):
\[A = 4 + (-3) - 4 = -3\]Rút gọn biểu thức \(B = \log_a (a^2 \cdot \sqrt{b}) - \log_{\sqrt{a}} b\) (với \(a, b > 0, a \neq 1\)).
Sử dụng các quy tắc biến đổi lôgarit:
\[\log_a (a^2 \cdot \sqrt{b}) = \log_a (a^2) + \log_a (b^{\displaystyle\frac{1}{2}}) = 2 + \displaystyle\frac{1}{2}\log_a b\] \[\log_{\sqrt{a}} b = \log_{a^{\displaystyle\frac{1}{2}}} b = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{2}}\log_a b = 2\log_a b\]Thay vào biểu thức \(B\):
\[B = \left(2 + \displaystyle\frac{1}{2}\log_a b\right) - 2\log_a b = 2 - \displaystyle\frac{3}{2}\log_a b\]Cho \(\log_2 3 = a\) và \(\log_2 5 = b\). Biểu diễn \(\log_6 45\) theo \(a\) và \(b\).
Đổi cơ số về cơ số 2:
\[\log_6 45 = \displaystyle\frac{\log_2 45}{\log_2 6}\]Phân tích các số 45 và 6 ra thừa số nguyên tố:
• \(\log_2 45 = \log_2 (3^2 \cdot 5) = \log_2 (3^2) + \log_2 5 = 2\log_2 3 + \log_2 5 = 2a + b\)
• \(\log_2 6 = \log_2 (2 \cdot 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + a\)
Vậy:
\[\log_6 45 = \displaystyle\frac{2a + b}{1 + a}\]6. Luyện tập tự giải
a) \(P = \log_5 125 - \log_2 0.25\)
b) \(Q = 4^{\log_2 3} + 9^{\log_3 2}\)
7. Ghi nhớ & Mẹo giải bài tập Lôgarit
- Số mũ ở **TỪNG SỐ BÊN TRÊN** (số dưới dấu lôgarit) $\rightarrow$ Đưa ra ngoài nằm ở **TỬ SỐ**: \[\log_a (b^\alpha) = \alpha \cdot \log_a b\]
- Số mũ ở **BÊN DƯỚI** (cơ số) $\rightarrow$ Đưa ra ngoài nằm ở **MẪU SỐ**: \[\log_{a^\beta} b = \displaystyle\frac{1}{\beta} \cdot \log_a b\]
- ❌ Sai lầm biến tổng thành tích: \(\log_a (x + y) \neq \log_a x + \log_a y\) (Đúng phải là \(\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y\)).
- ❌ Sai lầm thương lôgarit: \(\displaystyle\frac{\log_a x}{\log_a y} \neq \log_a (x - y)\) (Đây là công thức đổi cơ số \(\displaystyle\frac{\log_a x}{\log_a y} = \log_y x\)).
- ❌ Quên điều kiện xác định: Luôn nhớ cơ số \(a > 0, a \neq 1\) và biểu thức trong lôgarit phải **nghiêm ngặt dương** \((> 0)\).