BÀI 19: LÔGARIT
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)
Bài 6.9. Tính:
a) \(\log_2 2^{-13}\);
b) \(\ln e^{\sqrt{2}}\);
c) \(\log_8 16 - \log_8 2\);
d) \(\log_2 6 \cdot \log_6 8\).
a) \(\log_2 2^{-13}\);
b) \(\ln e^{\sqrt{2}}\);
c) \(\log_8 16 - \log_8 2\);
d) \(\log_2 6 \cdot \log_6 8\).
Lời giải:
a) \(\log_2 2^{-13} = -13\).
b) \(\ln e^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\).
c) \(\log_8 16 - \log_8 2 = \log_8 \left(\frac{16}{2}\right) = \log_8 8 = 1\).
d) \(\log_2 6 \cdot \log_6 8 = \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3\).
Bài 6.10. Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
a) \(A = \ln\left(\frac{x}{x-1}\right) + \ln\left(\frac{x+1}{x}\right) - \ln(x^2 - 1)\);
b) \(B = 21\log_3 \sqrt[7]{x} + \log_3(9x^2) - \log_3 9\).
a) \(A = \ln\left(\frac{x}{x-1}\right) + \ln\left(\frac{x+1}{x}\right) - \ln(x^2 - 1)\);
b) \(B = 21\log_3 \sqrt[7]{x} + \log_3(9x^2) - \log_3 9\).
Lời giải:
a) Biến đổi biểu thức \(A\):
\[A = \ln\left(\frac{x}{x-1} \cdot \frac{x+1}{x}\right) - \ln(x^2 - 1) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) - \ln(x^2 - 1)\] \[= \ln\left(\frac{\frac{x+1}{x-1}}{x^2 - 1}\right) = \ln\left(\frac{x+1}{(x-1)(x-1)(x+1)}\right) = \ln\left(\frac{1}{(x-1)^2}\right)\]b) Biến đổi biểu thức \(B\):
\[B = 21\log_3 x^{\frac{1}{7}} + \log_3(9x^2) - \log_3 9 = \log_3 \left(x^{\frac{21}{7}}\right) + \log_3(9x^2) - \log_3 9\] \[= \log_3 x^3 + \log_3(9x^2) - \log_3 9 = \log_3 \left(\frac{x^3 \cdot 9x^2}{9}\right) = \log_3 (x^5)\]
Bài 6.11. Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(A = \log_{\frac{1}{3}} 5 + 2\log_9 25 - \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{5}\);
b) \(B = \log_a M^2 + \log_{a^2} M^4\).
a) \(A = \log_{\frac{1}{3}} 5 + 2\log_9 25 - \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{5}\);
b) \(B = \log_a M^2 + \log_{a^2} M^4\).
Lời giải:
a) Đưa về cơ số 3:
\[A = \log_{3^{-1}} 5 + 2\log_{3^2} 5^2 - \log_{3^{\frac{1}{2}}} 5^{-1}\] \[= -\log_3 5 + 2 \cdot \frac{2}{2}\log_3 5 - 2 \cdot (-1)\log_3 5\] \[= -\log_3 5 + 2\log_3 5 + 2\log_3 5 = 3\log_3 5\]b) Rút gọn biểu thức \(B\) (với \(0 < a \neq 1, M \neq 0\)):
\[B = \log_a M^2 + \frac{1}{2}\log_a M^4 = \log_a M^2 + \frac{1}{2} \cdot 4 \log_a |M|\] \[= 2\log_a |M| + 2\log_a |M| = 4\log_a |M|\]
Bài 6.12. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(A = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 8\);
b) \(B = \log_2 2 \cdot \log_2 4 \cdots \log_2 2^n\).
a) \(A = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 8\);
b) \(B = \log_2 2 \cdot \log_2 4 \cdots \log_2 2^n\).
Lời giải:
a) Áp dụng công thức đổi cơ số \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\):
\[A = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 8 = \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3\]b) Biến đổi từng thừa số trong tích:
\[B = \log_2 2^1 \cdot \log_2 2^2 \cdot \log_2 2^3 \cdots \log_2 2^n = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n = n!\]
Bài 6.13. Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là
\[a = 15\,500(5 - \log p)\]
trong đó \(a\) là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và \(p\) là áp suất không khí (tính bằng pascal).
Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao \(8\,850\text{ m}\) so với mực nước biển.
Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao \(8\,850\text{ m}\) so với mực nước biển.
Lời giải:
Thay \(a = 8\,850\) vào công thức:
\[8\,850 = 15\,500(5 - \log p) \Leftrightarrow 5 - \log p = \frac{8\,850}{15\,500} = \frac{177}{310}\] \[\Leftrightarrow \log p = 5 - \frac{177}{310} = \frac{1373}{310}\] \[\Leftrightarrow p = 10^{\frac{1373}{310}} \approx 27\,096\text{ (Pa)}\]Vậy áp suất không khí ở đỉnh Everest khoảng \(27\,096\text{ Pa}\).
Bài 6.14. Mức cường độ âm \(L\) đo bằng decibel (dB) của âm thanh có cường độ \(I\) (đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu là \(\text{W/m}^2\)) được định nghĩa như sau:
\[L(I) = 10\log\frac{I}{I_0}\]
trong đó \(I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2\) là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe).
Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:
a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ \(I = 10^{-7}\text{ W/m}^2\).
b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ \(I = 10^{-3}\text{ W/m}^2\).
Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:
a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ \(I = 10^{-7}\text{ W/m}^2\).
b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ \(I = 10^{-3}\text{ W/m}^2\).
Lời giải:
a) Với \(I = 10^{-7}\text{ W/m}^2\):
\[L = 10\log\left(\frac{10^{-7}}{10^{-12}}\right) = 10\log(10^5) = 10 \cdot 5 = 50\text{ (dB)}\]b) Với \(I = 10^{-3}\text{ W/m}^2\):
\[L = 10\log\left(\frac{10^{-3}}{10^{-12}}\right) = 10\log(10^9) = 10 \cdot 9 = 90\text{ (dB)}\]