Câu 1. Cho \(a > 0\) và \(m, n \in \mathbb{R}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Giải thích: Theo tính chất lũy thừa cùng cơ số, khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
Câu 2. Rút gọn biểu thức \(P = x^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{x}\) với \(x > 0\) thu được kết quả là:
Giải thích: Ta có \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\). Do đó \(P = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{5}{6}}\).
Câu 3. Viết biểu thức \(Q = \sqrt[3]{a^2 \cdot \sqrt{a}}\) (với \(a > 0\)) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
Giải thích: Ta biến đổi từ trong ra ngoài: \(a^2 \cdot \sqrt{a} = a^2 \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}}\). Khi đó \(Q = \sqrt[3]{a^{\frac{5}{2}}} = (a^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{5}{6}}\).
Câu 4. Biểu thức lũy thừa \(a^{\alpha}\) với cơ số \(a\) không âm và số mũ không nguyên \(\alpha \notin \mathbb{Z}\) xác định khi:
Giải thích: Theo định nghĩa lũy thừa với số mũ không nguyên (số mũ hữu tỉ hoặc số mũ thực), cơ số \(a\) bắt buộc phải là số thực dương (\(a > 0\)).
Câu 5. Giá trị của biểu thức \(A = 16^{-\frac{3}{4}} + 27^{\frac{2}{3}}\) bằng:
Giải thích:
- \(16^{-\frac{3}{4}} = (2^4)^{-\frac{3}{4}} = 2^{-3} = \frac{1}{8}\).
- \(27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9\).
- Vậy \(A = \frac{1}{8} + 9 = \frac{73}{8}\).
Câu 6. So sánh hai số \(x = 3^{\sqrt{2}}\) và \(y = 3^{\sqrt{3}}\):
Giải thích: Vì cơ số \(3 > 1\) nên hàm số lũy thừa/đồng biến. Do \(\sqrt{2} < \sqrt{3}\) nên \(3^{\sqrt{2}} < 3^{\sqrt{3}}\) hay \(x < y\).
Câu 7. Cho \(0 < a < 1\) và \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\). Khẳng định nào sau đây là **đúng**?
Giải thích: Khi cơ số \(0 < a < 1\), lũy thừa đổi chiều so sánh với số mũ: nếu \(\alpha < \beta\) thì \(a^{\alpha} > a^{\beta}\).
Câu 8. Rút gọn biểu thức \(K = \frac{a^{\sqrt{3}+1} \cdot a^{2-\sqrt{3}}}{(a^{\sqrt{2}-1})^{\sqrt{2}+1}}\) (với \(a > 0\)):
Giải thích:
- Tử số: \(a^{(\sqrt{3}+1) + (2-\sqrt{3})} = a^3\).
- Mẫu số: \(a^{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = a^{2-1} = a^1\).
- Do đó \(K = \frac{a^3}{a^1} = a^{3-1} = a^2\).
Câu 9. Cho \(a, b\) là các số thực dương. Rút gọn biểu thức \(M = \frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}}\) ta được:
Giải thích: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương cho tử số: \(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2 = (a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}})\). Chia cho mẫu số ta còn \(a^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{4}}\).
Câu 10 Thực tế. Một người gửi vào ngân hàng \(100\text{ triệu đồng}\) với lãi suất kép \(6\%\)/năm. Số tiền cả gốc lẫn lãi người đó thu được sau \(n\) năm được tính theo công thức \(S = 100 \cdot (1 + 0{,}06)^n\text{ (triệu đồng)}\). Hỏi sau \(5\) năm, tổng số tiền người đó nhận được gần nhất với giá trị nào sau đây?
Giải thích:
Áp dụng công thức lãi suất kép với \(n = 5\):
\(S = 100 \cdot (1{,}06)^5 \approx 100 \cdot 1{,}338225578 = 133{,}8225578\text{ (triệu đồng)}\).
Làm tròn đến 2 chữ số thập phân ta được \(133{,}82\text{ triệu đồng}\).