Giải Bài Tập Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực - Toán 11 KNTT

BÀI 18: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

Bài 6.1. Tính:
a) \(\left(\frac{1}{5}\right)^{-2}\);
b) \(4^{\frac{3}{2}}\);
c) \(\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}\);
d) \(\left(\frac{1}{16}\right)^{-0,75}\).
Lời giải:

a) \(\left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = (5^{-1})^{-2} = 5^2 = 25\).

b) \(4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8\).

c) \(\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} = (2^{-3})^{-\frac{2}{3}} = 2^2 = 4\).

d) \(\left(\frac{1}{16}\right)^{-0,75} = (2^{-4})^{-\frac{3}{4}} = 2^3 = 8\).

Bài 6.2. Thực hiện phép tính:
a) \(27^{\frac{2}{3}} + 81^{-0,75} - 25^{0,5}\);
b) \(4^{2-3\sqrt{7}} \cdot 8^{2\sqrt{7}}\).
Lời giải:

a) \(27^{\frac{2}{3}} + 81^{-0,75} - 25^{0,5} = (3^3)^{\frac{2}{3}} + (3^4)^{-\frac{3}{4}} - (5^2)^{\frac{1}{2}} = 3^2 + 3^{-3} - 5 = 9 + \frac{1}{27} - 5 = \frac{109}{27}\).

b) \(4^{2-3\sqrt{7}} \cdot 8^{2\sqrt{7}} = (2^2)^{2-3\sqrt{7}} \cdot (2^3)^{2\sqrt{7}} = 2^{4-6\sqrt{7}} \cdot 2^{6\sqrt{7}} = 2^{4-6\sqrt{7}+6\sqrt{7}} = 2^4 = 16\).

Bài 6.3. Rút gọn các biểu thức sau (\(x, y \neq 0\)):
a) \(A = \frac{x^5 y^{-2}}{x^3 y}\);
b) \(B = \frac{x^2 y^{-3}}{(x^{-1} y^4)^{-3}}\).
Lời giải:

a) \(A = x^{5-3} \cdot y^{-2-1} = x^2 y^{-3} = \frac{x^2}{y^3}\).

b) \(B = \frac{x^2 y^{-3}}{x^3 y^{-12}} = x^{2-3} \cdot y^{-3-(-12)} = x^{-1} y^9 = \frac{y^9}{x}\).

Bài 6.4. Cho \(x, y > 0\). Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(A = \frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y} + y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}\);
b) \(B = \left(\frac{x^{\sqrt{5}}}{y^{\sqrt{3}-1}}\right)^{\sqrt{5}+1} \cdot \frac{x^{-\sqrt{5}-1}}{y^{-2}}\).
Lời giải:

a) \(A = \frac{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{6}}} = \frac{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}(y^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{6}})}{x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{6}}} = x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{xy}\).

b) \(B = \frac{x^{\sqrt{5}(\sqrt{5}+1)}}{y^{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)}} \cdot \frac{x^{-\sqrt{5}-1}}{y^{-2}} = x^{5+\sqrt{5}-\sqrt{5}-1} \cdot y^{-(\sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{5}-1) + 2} = x^4 y^{3-\sqrt{15}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}\).

Bài 6.5. Chứng minh rằng: \(\sqrt{4+2\sqrt{3}} - \sqrt{4-2\sqrt{3}} = 2\).
Lời giải:

Ta có: \(\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1\).

\(\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{3}-1\).

Suy ra: \(\sqrt{4+2\sqrt{3}} - \sqrt{4-2\sqrt{3}} = (\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1) = 2\) (đpcm).

Bài 6.6. Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:
a) \(5^{6\sqrt{3}}\) và \(5^{3\sqrt{6}}\);
b) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{4}{3}}\) và \(\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}\).
Lời giải:

a) Ta có \((6\sqrt{3})^2 = 108 > (3\sqrt{6})^2 = 54 \Rightarrow 6\sqrt{3} > 3\sqrt{6}\). Vì cơ số \(5 > 1\) nên \(5^{6\sqrt{3}} > 5^{3\sqrt{6}}\).

b) \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{4}{3}} = (2^{-1})^{-\frac{4}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}\). Lại có \(\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{7}{6}}\). Vì \(\frac{4}{3} > \frac{7}{6}\) và cơ số \(2 > 1\) nên \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{4}{3}} > \sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}\).

Bài 6.7. Công thức tính tổng số tiền cả vốn lẫn lãi: \(A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^N\). Tính số tiền nhận được sau 2 năm khi gửi 120 triệu đồng, kỳ hạn 6 tháng, lãi suất 5%/năm.
Lời giải:

Vốn gốc \(P = 120\), lãi suất năm \(r = 0,05\). Kỳ hạn 6 tháng nên một năm tính lãi \(n = 2\) lần.

Sau 2 năm, số kỳ tính lãi là \(N = 2 \times 2 = 4\).

Số tiền thu được: \(A = 120 \left(1 + \frac{0,05}{2}\right)^4 = 120 \times 1,025^4 \approx 132,46\) triệu đồng.

Bài 6.8. Cho công thức dân số \(A = 19 \cdot 2^{\frac{t}{30}}\) (triệu người). Tính dân số sau 20 năm (làm tròn đến chữ số hàng triệu).
Lời giải:

Thay \(t = 20\) vào công thức:

\(A = 19 \cdot 2^{\frac{20}{30}} = 19 \cdot 2^{\frac{2}{3}} \approx 30,16\) triệu người.

Làm tròn đến chữ số hàng triệu, dân số sau 20 năm khoảng 30 triệu người.