Câu 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; b)\) và \(x_0 \in (a; b)\). Hàm số \(f(x)\) được gọi là liên tục tại điểm \(x_0\) khi và chỉ khi:
Giải thích: Theo định nghĩa, hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại điểm \(x_0\) nếu \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).
Câu 2. Hàm số nào sau đây gián đoạn tại điểm \(x = 2\)?
Giải thích: Hàm số phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của nó. Hàm số \(y = \frac{x + 1}{x - 2}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\), không xác định tại \(x = 2\) nên gián đoạn tại \(x = 2\).
Câu 3. Khẳng định nào sau đây là **SAI**?
Giải thích: Khẳng định D sai vì để phương trình \(f(x) = 0\) chắc chắn có nghiệm thuộc \((a; b)\), cần thêm điều kiện hàm số liên tục trên đoạn \([a; b]\) và \(f(a) \cdot f(b) < 0\).
Câu 4. Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{khi } x \neq 2 \\ m & \text{khi } x = 2 \end{cases}\). Tìm \(m\) để hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 2\).
Giải thích: Ta có \(f(2) = m\) và \(\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4\).
Để hàm số liên tục tại \(x = 2\) thì \(\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow m = 4\).
Câu 5. Hàm số \(f(x) = \sqrt{x - 3}\) liên tục trên khoảng/nửa khoảng nào dưới đây?
Giải thích: Biểu thức dưới căn xác định khi \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\). Hàm số căn thức liên tục trên tập xác định của nó là \([3; +\infty)\).
Câu 6. Phương trình nào sau đây chắc chắn có ít nhất một nghiệm trong khoảng \((0; 1)\)?
Giải thích: Xét hàm số \(f(x) = 2x^3 - 5x + 1\) liên tục trên \([0; 1]\).
Ta có: \(f(0) = 1 > 0\) và \(f(1) = 2(1)^3 - 5(1) + 1 = -2 < 0\).
Vì \(f(0) \cdot f(1) = 1 \cdot (-2) = -2 < 0\) nên phương trình \(2x^3 - 5x + 1 = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \((0; 1)\).
Câu 7. Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} 3x + b & \text{khi } x \ge 1 \\ x^2 + 2 & \text{khi } x < 1 \end{cases}\). Tìm \(b\) để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Giải thích: Hàm số liên tục với mọi \(x \neq 1\). Để liên tục trên \(\mathbb{R}\), hàm số cần liên tục tại \(x = 1\).
\(\lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 3(1) + b = 3 + b\).
\(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 2) = 3\).
Cho \(3 + b = 3 \Rightarrow b = 0\).
Câu 8. Số nghiệm của phương trình \(x^5 - 3x - 1 = 0\) trên khoảng \((-1; 2)\) ít nhất là bao nhiêu?
Giải thích: Xét \(f(x) = x^5 - 3x - 1\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
• Với khoảng \((-1; 0)\): \(f(-1) = 1 > 0\), \(f(0) = -1 < 0 \Rightarrow f(-1) \cdot f(0) < 0\) nên có ít nhất 1 nghiệm thuộc \((-1; 0)\).
• Với khoảng \((0; 2)\): \(f(0) = -1 < 0\), \(f(2) = 25 > 0 \Rightarrow f(0) \cdot f(2) < 0\) nên có ít nhất 1 nghiệm thuộc \((0; 2)\).
Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng \((-1; 2)\).
Câu 9. Cho hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \(x_0 = 3\). Khẳng định nào sau đây **KHÔNG** chắc chắn đúng?
Giải thích: Thương của hai hàm số liên tục chỉ liên tục tại \(x_0\) khi điều kiện mẫu số \(g(x_0) \neq 0\) được thỏa mãn. Do đề bài chưa cho \(g(3) \neq 0\) nên khẳng định C chưa chắc chắn đúng.
Câu 10 Thực tế. Giá cước của một hãng xe taxi được tính theo quãng đường di chuyển \(x\) (km) bởi hàm số:
\[T(x) = \begin{cases} 15 & \text{khi } 0 < x \le 1 \\ 15 + 12(x - 1) & \text{khi } x > 1 \end{cases}\]
(đơn vị: nghìn đồng). Phát biểu nào sau đây đúng về tính liên tục của hàm số giá cước \(T(x)\) tại mốc quãng đường \(x = 1\) km?
Giải thích: Ta tính các giới hạn một bên tại \(x = 1\):
• \(\lim_{x \to 1^-} T(x) = 15\) và \(T(1) = 15\).
• \(\lim_{x \to 1^+} T(x) = \lim_{x \to 1^+} [15 + 12(x - 1)] = 15 + 12(0) = 15\).
Vì \(\lim_{x \to 1^-} T(x) = \lim_{x \to 1^+} T(x) = T(1) = 15\), nên hàm số \(T(x)\) liên tục tại \(x = 1\). Điều này giúp cước phí tính liên tục, không bị chênh lệch đột ngột khi qua mốc 1 km.