BÀI 17: HÀM SỐ LIÊN TỤC
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

Vì \(f(x)\) và \(g(x)\) là các hàm số liên tục tại \(x = 1\) nên:

\[\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 2\] \[\lim_{x \to 1} g(x) = g(1)\]

Áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số, ta có:

\[\lim_{x \to 1} [2f(x) - g(x)] = 2 \lim_{x \to 1} f(x) - \lim_{x \to 1} g(x) = 2 \cdot 2 - g(1) = 4 - g(1)\]

Theo giả thiết \(\lim_{x \to 1} [2f(x) - g(x)] = 3\), ta có phương trình:

\[4 - g(1) = 3 \Leftrightarrow g(1) = 4 - 3 = 1\]

Vậy \(g(1) = 1\).

a) \(f(x) = \frac{x}{x^2 + 5x + 6}\):

• Điều kiện xác định: \(x^2 + 5x + 6 \neq 0 \Leftrightarrow (x + 2)(x + 3) \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -2\) và \(x \neq -3\).
• Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R} \setminus \{-3; -2\} = (-\infty; -3) \cup (-3; -2) \cup (-2; +\infty)\).
• Hàm số \(f(x)\) là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên từng khoảng xác định của nó, tức là liên tục trên các khoảng \((-\infty; -3)\), \((-3; -2)\) và \((-2; +\infty)\).

b) \(f(x) = \begin{cases} 1 + x^2 & \text{nếu } x < 1 \\ 4 - x & \text{nếu } x \ge 1. \end{cases}\):

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

• Với \(x < 1\): \(f(x) = 1 + x^2\) là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng \((-\infty; 1)\).
• Với \(x > 1\): \(f(x) = 4 - x\) là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng \((1; +\infty)\).
• Tại điểm \(x = 1\):
  - Giá trị hàm số: \(f(1) = 4 - 1 = 3\).
  - Giới hạn bên phải: \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (4 - x) = 4 - 1 = 3\).
  - Giới hạn bên trái: \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (1 + x^2) = 1 + 1^2 = 2\).

Vì \(\lim_{x \to 1^+} f(x) \neq \lim_{x \to 1^-} f(x)\) (\(3 \neq 2\)) nên không tồn tại \(\lim_{x \to 1} f(x)\). Do đó hàm số gián đoạn tại \(x = 1\).

Kết luận: Hàm số liên tục trên các khoảng \((-\infty; 1)\) và \((1; +\infty)\), gián đoạn tại điểm \(x = 1\).

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

• Với \(x > 0\): \(f(x) = \sin x\) là hàm lượng giác nên liên tục trên khoảng \((0; +\infty)\).
• Với \(x < 0\): \(f(x) = -x + m\) là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng \((-\infty; 0)\).
• Để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\), hàm số phải liên tục tại điểm \(x = 0\):
  - Ta có \(f(0) = \sin 0 = 0\).
  - Giới hạn bên phải: \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sin x = \sin 0 = 0\).
  - Giới hạn bên trái: \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x + m) = -0 + m = m\).

Hàm số liên tục tại \(x = 0\) khi và chỉ khi:

\[\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) \Leftrightarrow 0 = m \Leftrightarrow m = 0\]

Vậy với \(m = 0\) thì hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

a) Viết công thức hàm số \(f(x)\) (đơn vị: đồng) theo quãng đường \(x\) (km, \(x > 0\)):

• Nếu \(0 < x \le 0,5\): Khách hàng trả giá mở cửa trọn gói là \(10\,000\) đồng.
  \[f(x) = 10\,000\]
• Nếu \(0,5 < x \le 30\): Giá bằng \(10\,000\) đồng cộng với giá của \((x - 0,5)\) km tiếp theo với giá \(13\,500\) đồng/km.
  \[f(x) = 10\,000 + 13\,500(x - 0,5) = 13\,500x + 3\,250\]
• Nếu \(x > 30\): Số tiền cho 30 km đầu tiên là \(10\,000 + 13\,500 \times (30 - 0,5) = 408\,500\) đồng. Quãng đường vượt quá 30 km là \((x - 30)\) km với giá \(11\,000\) đồng/km.
  \[f(x) = 408\,500 + 11\,000(x - 30) = 11\,000x + 78\,500\]

Vậy công thức hàm số mô tả số tiền cước taxi \(f(x)\) là:

\[f(x) = \begin{cases} 10\,000 & \text{nếu } 0 < x \le 0,5 \\ 13\,500x + 3\,250 & \text{nếu } 0,5 < x \le 30 \\ 11\,000x + 78\,500 & \text{nếu } x > 30 \end{cases}\]

b) Xét tính liên tục của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((0; +\infty)\):

• Trên các khoảng \((0; 0,5)\), \((0,5; 30)\) và \((30; +\infty)\), hàm số là các hàm đa thức (hoặc hàm hằng) nên liên tục trên mỗi khoảng đó.
• Xét tại điểm \(x = 0,5\):
  - \(f(0,5) = 10\,000\).
  - \(\lim_{x \to 0,5^-} f(x) = \lim_{x \to 0,5^-} 10\,000 = 10\,000\).
  - \(\lim_{x \to 0,5^+} f(x) = \lim_{x \to 0,5^+} (13\,500x + 3\,250) = 13\,500(0,5) + 3\,250 = 10\,000\).
  Vì \(\lim_{x \to 0,5^-} f(x) = \lim_{x \to 0,5^+} f(x) = f(0,5) = 10\,000\), nên hàm số liên tục tại \(x = 0,5\).
• Xét tại điểm \(x = 30\):
  - \(f(30) = 13\,500(30) + 3\,250 = 408\,250\).
  - \(\lim_{x \to 30^-} f(x) = 408\,250\).
  - \(\lim_{x \to 30^+} f(x) = \lim_{x \to 30^+} (11\,000x + 78\,500) = 11\,000(30) + 78\,500 = 408\,500\).
  Vì \(\lim_{x \to 30^-} f(x) \neq \lim_{x \to 30^+} f(x)\) (\(408\,250 \neq 408\,500\)) nên hàm số gián đoạn tại điểm \(x = 30\).

Kết luận: Hàm số liên tục trên các khoảng \((0; 30)\) và \((30; +\infty)\), gián đoạn tại điểm \(x = 30\).