Câu 1. Tính giới hạn \(L = \lim_{x \to 2} (3x^2 - 2x + 1)\).
Giải thích: Vì hàm số \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\) xác định tại \(x = 2\), ta chỉ cần thay trực tiếp \(x = 2\): \(L = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 12 - 4 + 1 = 9\).
Câu 2. Tính giới hạn dạng vô định \(L = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}\).
Giải thích: Đây là dạng vô định \(\frac{0}{0}\). Ta phân tích tử số thành nhân tử: \(\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6\).
Câu 3. Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 + x - 1}{2x^2 + 3}\) bằng:
Giải thích: Chia cả tử và mẫu cho \(x^2\): \(\lim_{x \to +\infty} \frac{4 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{3}{x^2}} = \frac{4 + 0 - 0}{2 + 0} = 2\).
Câu 4. Tìm giới hạn một bên \(L = \lim_{x \to 1^+} \frac{2x + 1}{x - 1}\).
Giải thích: Khi \(x \to 1^+\), tử số \(2x + 1 \to 3 > 0\), mẫu số \(x - 1 \to 0\) và \(x - 1 > 0\). Do đó \(\lim_{x \to 1^+} \frac{2x + 1}{x - 1} = +\infty\).
Câu 5. Giá trị của giới hạn \(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x - 1}\) bằng:
Giải thích: Nhân liên hợp ở tử số: \(\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+3-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x+3}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}\).
Câu 6. Kết quả của giới hạn \(\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 3x + 1)\) bằng:
Giải thích: Đặt \(x^3\) làm nhân tử chung: \(\lim_{x \to -\infty} x^3 \left(1 - \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^3}\right)\). Do \(\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty\) và \(\lim_{x \to -\infty} \left(1 - \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^3}\right) = 1 > 0\) nên giới hạn bằng \(-\infty\).
Câu 7. Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{khi } x \ge 1 \\ x^2 + a & \text{khi } x < 1 \end{cases}\). Tìm \(a\) để tồn tại giới hạn \(\lim_{x \to 1} f(x)\).
Giải thích: Để tồn tại \(\lim_{x \to 1} f(x)\) thì \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x)\).
Ta có: \(\lim_{x \to 1^+} (2x + 1) = 3\) và \(\lim_{x \to 1^-} (x^2 + a) = 1 + a\).
Cho \(1 + a = 3 \Rightarrow a = 2\).
Câu 8. Giới hạn \(\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right)\) có kết quả bằng:
Giải thích: Nhân liên hợp: \(\lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)}{\sqrt{x^2+1}-x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}\).
Khi \(x \to -\infty\), \(\sqrt{x^2+1} \to +\infty\) và \(-x \to +\infty\), nên mẫu số tiến tới \(+\infty\). Vậy giới hạn bằng \(0\).
Câu 9. Cho \(\lim_{x \to 2} f(x) = 4\). Giá trị của \(\lim_{x \to 2} \frac{[f(x)]^2 - 16}{f(x) - 4}\) bằng:
Giải thích: Đặt \(t = f(x)\). Khi \(x \to 2\) thì \(t \to 4\).
Giới hạn trở thành: \(\lim_{t \to 4} \frac{t^2 - 16}{t - 4} = \lim_{t \to 4} \frac{(t-4)(t+4)}{t-4} = \lim_{t \to 4} (t + 4) = 4 + 4 = 8\).
Câu 10 Thực tế. Chi phí trung bình (tính bằng triệu đồng) để sản xuất \(x\) sản phẩm của một nhà máy được cho bởi hàm số \(C(x) = \frac{50x + 200}{x}\) (\(x > 0\)). Khi số lượng sản phẩm sản xuất tăng lên rất lớn (\(x \to +\infty\)), chi phí trung bình sản xuất mỗi sản phẩm sẽ tiệm cận về mức giá trị nào?
Giải thích: Khi số lượng sản phẩm sản xuất tăng lên rất lớn, ta tính giới hạn của hàm chi phí trung bình khi \(x \to +\infty\):
\(\lim_{x \to +\infty} C(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{50x + 200}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(50 + \frac{200}{x}\right) = 50 + 0 = 50\).
Như vậy khi sản xuất quy mô rất lớn, chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ tiến dần về 50 triệu đồng.