Bài học Toán THPT - Giới Hạn Của Hàm Số

📘 BÀI HỌC TOÁN 11: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Chương V: Giới hạn. Hàm số liên tục (Kết nối tri thức với cuộc sống)

📚 Nội dung bài học

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

📌 Định nghĩa:

Cho khoảng \((K)\) chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \((K)\) hoặc trên \((K) \setminus \{x_0\}\).

Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là số \(L\) khi \(x\) tiến tới \(x_0\) nếu với mọi dãy số \((x_n)\) trong tập xác định và \(x_n \to x_0\) (\(x_n \neq x_0\)), ta đều có \(\lim f(x_n) = L\).

Kí hiệu: \(\lim_{x \to x_0} f(x) = L\) hoặc \(f(x) \to L\) khi \(x \to x_0\).

Các giới hạn đặc biệt và định lí phép toán

  • \(\lim_{x \to x_0} c = c\) (với \(c\) là hằng số).
  • \(\lim_{x \to x_0} x = x_0\).

Nếu \(\lim_{x \to x_0} f(x) = L\) và \(\lim_{x \to x_0} g(x) = M\), ta có:

  • \(\lim_{x \to x_0} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M\)
  • \(\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M\)
  • \(\lim_{x \to x_0} \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle\frac{L}{M}\) (với \(M \neq 0\))

2. Giới hạn một bên

📌 Định nghĩa:
  • Giới hạn bên phải: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((x_0; b)\). Số \(L\) gọi là giới hạn bên phải của \(f(x)\) khi \(x \to x_0^+\) nếu mọi dãy \((x_n)\) thỏa mãn \(x_0 < x_n < b\) và \(x_n \to x_0\) thì \(\lim f(x_n) = L\).
    Kí hiệu: \(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L\).
  • Giới hạn bên trái: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; x_0)\). Số \(L\) gọi là giới hạn bên trái của \(f(x)\) khi \(x \to x_0^-\) nếu mọi dãy \((x_n)\) thỏa mãn \(a < x_n < x_0\) và \(x_n \to x_0\) thì \(\lim f(x_n) = L\).
    Kí hiệu: \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L\).
💡 Định lí quan trọng: \[\lim_{x \to x_0} f(x) = L \iff \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = L\] Nếu \(\lim_{x \to x_0^+} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^-} f(x)\) thì không tồn tại giới hạn \(\lim_{x \to x_0} f(x)\).

3. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

📌 Định nghĩa:
  • Hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là \(L\) khi \(x \to +\infty\) nếu với mọi dãy số \((x_n)\) thỏa mãn \(x_n \to +\infty\), ta có \(\lim f(x_n) = L\).
    Kí hiệu: \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = L\).
  • Tương tự, khi \(x \to -\infty\): \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = L\).

Một số giới hạn đặc biệt tại vô cực

  • \(\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{c}{x^k} = 0\) và \(\lim_{x \to -\infty} \displaystyle\frac{c}{x^k} = 0\) (với \(c\) là hằng số, \(k \in \mathbb{N}^*\)).

4. Giới hạn vô cực của hàm số

📌 Khái niệm:

Giới hạn vô cực xảy ra khi kết quả của giới hạn bằng \(+\infty\) hoặc \(-\infty\).

  • \(\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty\) hoặc \(\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty\).
  • \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty\) hoặc \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \pm\infty\).

Quy tắc xét dấu với dạng thương \(\lim_{x \to x_0} \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\)

Nếu \(\lim_{x \to x_0} f(x) = L \neq 0\) và \(\lim_{x \to x_0} g(x) = 0\) (\(g(x) \neq 0\) trên một khoảng quanh \(x_0\)):

  • Thương \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\) sẽ tiến tới \(\pm\infty\).
  • Dấu của giới hạn phụ thuộc vào dấu của \(L\) và dấu của \(g(x)\) khi \(x \to x_0\):
    - Cùng dấu \(\longrightarrow +\infty\)
    - Trái dấu \(\longrightarrow -\infty\)

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Dạng vô định \(\displaystyle\frac{0}{0}\) (Phân tích thành nhân tử)

Tính giới hạn: \(\lim_{x \to 2} \displaystyle\frac{x^2 - 4}{x - 2}\)

Lời giải:

Thay \(x = 2\) vào tử và mẫu ta thấy có dạng vô định \(\displaystyle\frac{0}{0}\).

Phân tích tử thức thành nhân tử để khử nhân tử chung \((x - 2)\):

\[\lim_{x \to 2} \displaystyle\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \displaystyle\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4\]
Ví dụ 2 Giới hạn một bên

Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{khi } x \ge 1 \\ x^2 - 3 & \text{khi } x < 1 \end{cases}\). Tính \(\lim_{x \to 1^+} f(x)\), \(\lim_{x \to 1^-} f(x)\) và xét xem tồn tại \(\lim_{x \to 1} f(x)\) hay không.

Lời giải:

• Khi \(x \to 1^+\) (\(x > 1\)), ta có \(f(x) = 2x + 1\):

\[\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3\]

• Khi \(x \to 1^-\) (\(x < 1\)), ta có \(f(x) = x^2 - 3\):

\[\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 - 3) = 1^2 - 3 = -2\]

Vì \(\lim_{x \to 1^+} f(x) \neq \lim_{x \to 1^-} f(x)\) (\(3 \neq -2\)) nên không tồn tại \(\lim_{x \to 1} f(x)\).

Ví dụ 3 Giới hạn dạng \(\displaystyle\frac{L}{0}\)

Tính giới hạn: \(\lim_{x \to 1^+} \displaystyle\frac{2x - 3}{x - 1}\)

Lời giải:

• Ta có \(\lim_{x \to 1^+} (2x - 3) = 2(1) - 3 = -1 < 0\).

• Vì \(x \to 1^+\) nên \(x > 1 \implies x - 1 > 0\). Do đó \(\lim_{x \to 1^+} (x - 1) = 0\) và \(x - 1 > 0\).

• Tử mang dấu âm, mẫu mang dấu dương khi \(x \to 1^+\), vậy:

\[\lim_{x \to 1^+} \displaystyle\frac{2x - 3}{x - 1} = -\infty\]

6. Luyện tập tự giải

Bài 1: Tính các giới hạn tại một điểm:
a) \(\lim_{x \to 3} \displaystyle\frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x}\)
b) \(\lim_{x \to 1} \displaystyle\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}\)
Bài 2: Tính các giới hạn một bên:
a) \(\lim_{x \to 2^-} \displaystyle\frac{x + 1}{x - 2}\)
b) \(\lim_{x \to 0^+} \displaystyle\frac{|x|}{x}\)
Bài 3: Tính giới hạn của hàm số tại vô cực:
a) \(\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{3x^2 - x + 2}{2x^2 + 5}\)
b) \(\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x^2 - 2x} + x\right)\)

7. Ghi nhớ & Mẹo khử các dạng vô định

🎯 Các dạng vô định thường gặp và phương pháp xử lý:
  1. Dạng \(\displaystyle\frac{0}{0}\) (khi \(x \to x_0\)):
    • Nếu là đa thức: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử chứa \((x - x_0)\) rồi rút gọn.
    • Nếu chứa căn thức: Nhân cả tử và mẫu với lượng liên hợp để xuất hiện nhân tử \((x - x_0)\).
  2. Dạng \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) (khi \(x \to \pm\infty\)):
    • Rút lũy thừa bậc cao nhất của \(x\) ở tử và mẫu ra làm nhân tử chung rồi triệt tiêu.
    • Chú ý: Khi rút \(x^2\) ra khỏi căn bậc hai: \(\sqrt{x^2} = |x| = \begin{cases} x & \text{khi } x \to +\infty \\ -x & \text{khi } x \to -\infty \end{cases}\)
  3. Dạng \(\infty - \infty\) (khi \(x \to \pm\infty\)):
    • Thường gặp khi trừ hai căn thức. Nhân lượng liên hợp để đưa về dạng \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\).