BÀI 16: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

a) Xét đẳng thức \(f(x) = g(x)\):

Khẳng định này sai vì hai hàm số có tập xác định khác nhau:

• Tập xác định của \(f(x)\) là \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\) (vì mẫu số \(x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1\)).
• Tập xác định của \(g(x)\) là \(D_g = \mathbb{R}\).

Do \(D_f \neq D_g\) nên hai hàm số không bằng nhau (tại \(x = 1\), \(g(1) = 2\) còn \(f(1)\) không xác định).

b) Xét đẳng thức \(\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} g(x)\):

Khẳng định này đúng. Thật vậy, với mọi \(x \neq 1\), ta có:

\[f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 = g(x)\]

Khi tính giới hạn khi \(x \to 1\), ta chỉ xét các giá trị \(x \neq 1\), do đó:

\[\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2\]

Mặt khác: \(\lim_{x \to 1} g(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2\).

Vậy \(\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} g(x) = 2\).

a) \(\lim_{x \to 0} \frac{(x + 2)^2 - 4}{x}\):

Biến đổi tử thức (dạng vô định \(\frac{0}{0}\)):

\[\lim_{x \to 0} \frac{(x + 2)^2 - 4}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 4x + 4 - 4}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 4x}{x}\] \[= \lim_{x \to 0} \frac{x(x + 4)}{x} = \lim_{x \to 0} (x + 4) = 0 + 4 = 4\]

b) \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 9} - 3}{x^2}\):

Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp \(\sqrt{x^2 + 9} + 3\) (dạng vô định \(\frac{0}{0}\)):

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 9} - 3}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x^2 + 9} - 3)(\sqrt{x^2 + 9} + 3)}{x^2(\sqrt{x^2 + 9} + 3)}\] \[= \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 9 - 9}{x^2(\sqrt{x^2 + 9} + 3)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2(\sqrt{x^2 + 9} + 3)}\] \[= \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 9} + 3} = \frac{1}{\sqrt{0^2 + 9} + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}\]

• Khi \(t \to 0^+\) (tức là \(t > 0\)), theo định nghĩa hàm số ta có \(H(t) = 1\).
  Do đó: \(\lim_{t \to 0^+} H(t) = \lim_{t \to 0^+} 1 = 1\).
• Khi \(t \to 0^-\) (tức là \(t < 0\)), theo định nghĩa hàm số ta có \(H(t) = 0\).
  Do đó: \(\lim_{t \to 0^-} H(t) = \lim_{t \to 0^-} 0 = 0\).

a) \(\lim_{x \to 1^+} \frac{x - 2}{x - 1}\):

Ta xét giới hạn của tử thức và mẫu thức khi \(x \to 1^+\):

• \(\lim_{x \to 1^+} (x - 2) = 1 - 2 = -1 < 0\).
• \(\lim_{x \to 1^+} (x - 1) = 0\). Vì \(x \to 1^+\) nên \(x > 1 \Rightarrow x - 1 > 0\).

Do tử thức tiến về số âm \(-1\) và mẫu thức tiến về \(0\) qua các giá trị dương nên:

\[\lim_{x \to 1^+} \frac{x - 2}{x - 1} = -\infty\]

b) \(\lim_{x \to 4^-} \frac{x^2 - x + 1}{4 - x}\):

Ta xét giới hạn của tử thức và mẫu thức khi \(x \to 4^-\):

• \(\lim_{x \to 4^-} (x^2 - x + 1) = 4^2 - 4 + 1 = 13 > 0\).
• \(\lim_{x \to 4^-} (4 - x) = 0\). Vì \(x \to 4^-\) nên \(x < 4 \Rightarrow 4 - x > 0\).

Do tử thức tiến về số dương \(13\) và mẫu thức tiến về \(0\) qua các giá trị dương nên:

\[\lim_{x \to 4^-} \frac{x^2 - x + 1}{4 - x} = +\infty\]

Ta phân tích tử thức thành nhân tử: \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\).

1. Tính \(\lim_{x \to 2^+} g(x)\):

Khi \(x \to 2^+\), ta có \(x > 2 \Rightarrow x - 2 > 0 \Rightarrow |x - 2| = x - 2\).

Khi đó:

\[g(x) = \frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} = x - 3\] \[\Rightarrow \lim_{x \to 2^+} g(x) = \lim_{x \to 2^+} (x - 3) = 2 - 3 = -1\]

2. Tính \(\lim_{x \to 2^-} g(x)\):

Khi \(x \to 2^-\), ta có \(x < 2 \Rightarrow x - 2 < 0 \Rightarrow |x - 2| = -(x - 2)\).

Khi đó:

\[g(x) = \frac{(x - 2)(x - 3)}{-(x - 2)} = -(x - 3) = 3 - x\] \[\Rightarrow \lim_{x \to 2^-} g(x) = \lim_{x \to 2^-} (3 - x) = 3 - 2 = 1\]

a) \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 2x}{\sqrt{x^2 + 1}}\):

Khi \(x \to +\infty\), ta có \(x > 0\) nên \(\sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{x^2\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)} = x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}\).

Chia cả tử và mẫu cho \(x\):

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{1 - 2x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\left(\frac{1}{x} - 2\right)}{x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x} - 2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} = \frac{0 - 2}{\sqrt{1 + 0}} = -2\]

b) \(\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x + 2} - x\right)\):

Nhân và chia cho biểu thức liên hợp (dạng vô định \(\infty - \infty\)):

\[\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x + 2} - x\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + x + 2} - x)(\sqrt{x^2 + x + 2} + x)}{\sqrt{x^2 + x + 2} + x}\] \[= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + x + 2 - x^2}{\sqrt{x^2 + x + 2} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + x + 2} + x}\]

Chia cả tử và mẫu cho \(x\) (\(x > 0\)):

\[= \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}} + 1} = \frac{1 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}\]

1. Tính \(\lim_{x \to 2^+} f(x)\):

• \(\lim_{x \to 2^+} 2 = 2 > 0\).
• \(\lim_{x \to 2^+} (x - 1) = 2 - 1 = 1 > 0\).
• \(\lim_{x \to 2^+} (x - 2) = 0\). Vì \(x \to 2^+\) nên \(x > 2 \Rightarrow x - 2 > 0\).

Suy ra \(\lim_{x \to 2^+} (x - 1)(x - 2) = 0\) và tích \((x - 1)(x - 2) > 0\).

Do đó:

\[\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty\]

2. Tính \(\lim_{x \to 2^-} f(x)\):

• \(\lim_{x \to 2^-} 2 = 2 > 0\).
• \(\lim_{x \to 2^-} (x - 1) = 2 - 1 = 1 > 0\).
• \(\lim_{x \to 2^-} (x - 2) = 0\). Vì \(x \to 2^-\) nên \(x < 2 \Rightarrow x - 2 < 0\).

Suy ra \(\lim_{x \to 2^-} (x - 1)(x - 2) = 0\) và tích \((x - 1)(x - 2) < 0\).

Do đó:

\[\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty\]