Câu 1. Khẳng định nào sau đây là ĐÚNG về giới hạn của dãy số cơ bản?
Giải thích: Theo định lý giới hạn cơ bản: \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0\) với mọi số nguyên dương \(k\). Khẳng định B sai vì chỉ đúng khi \(\vert{}q\vert{} < 1\); D sai vì \(\lim_{n \to +\infty} C = C\).
Câu 2. Tính giới hạn \(L = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 5}{3n - 1}\).
Giải thích: Chia cả tử và mẫu cho \(n\): \(\lim_{n \to +\infty} \frac{2 + \frac{5}{n}}{3 - \frac{1}{n}} = \frac{2 + 0}{3 - 0} = \frac{2}{3}\).
Câu 3. Kết quả của giới hạn \(\lim_{n \to +\infty} \frac{4n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 5}\) bằng:
Giải thích: Chia cả tử và mẫu cho \(n^2\): \(\lim_{n \to +\infty} \frac{4 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{5}{n^2}} = \frac{4}{2} = 2\).
Câu 4. Giá trị của giới hạn \(\lim_{n \to +\infty} \frac{3^n - 4 \cdot 5^n}{2 \cdot 5^n + 2^n}\) bằng:
Giải thích: Chia cả tử và mẫu cho \(5^n\): \(\lim_{n \to +\infty} \frac{\left(\frac{3}{5}\right)^n - 4}{2 + \left(\frac{2}{5}\right)^n} = \frac{0 - 4}{2 + 0} = -2\).
Câu 5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots\) bằng:
Giải thích: Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \(u_1 = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\). Công thức tính tổng: \(S = \frac{u_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2\).
Câu 6. Tìm giới hạn \(L = \lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n^2 + 2n} - n\right)\).
Giải thích: Nhân liên hợp: \(\lim_{n \to +\infty} \frac{(\sqrt{n^2+2n}-n)(\sqrt{n^2+2n}+n)}{\sqrt{n^2+2n}+n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2+2n}+n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1} = \frac{2}{1+1} = 1\).
Câu 7. Kết quả của giới hạn \(\lim_{n \to +\infty} (n^3 - 3n^2 + 2)\) là:
Giải thích: Đặt \(n^3\) làm nhân tử chung: \(\lim_{n \to +\infty} n^3 \left(1 - \frac{3}{n} + \frac{2}{n^3}\right)\). Vì \(\lim_{n \to +\infty} n^3 = +\infty\) và \(\lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{3}{n} + \frac{2}{n^3}\right) = 1 > 0\) nên giới hạn bằng \(+\infty\).
Câu 8. Cho hai dãy số \((u_n)\) và \((v_n)\) thỏa mãn \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 3\) và \(\lim_{n \to +\infty} v_n = -2\). Giá trị của \(\lim_{n \to +\infty} (u_n - 2v_n)\) bằng:
Giải thích: Áp dụng các quy tắc tính giới hạn của dãy số: \(\lim_{n \to +\infty} (u_n - 2v_n) = \lim_{n \to +\infty} u_n - 2 \lim_{n \to +\infty} v_n = 3 - 2(-2) = 3 + 4 = 7\).
Câu 9. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn \(0,333\dots = 0,(3)\) dưới dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\). Tổng \(a + b\) bằng:
Giải thích: Ta có \(0,(3) = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \dots = \frac{\frac{3}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\). Phân số tối giản có \(a = 1, b = 3 \Rightarrow a + b = 4\).
Câu 10 Thực tế. Một quả bóng cao su được thả rơi từ độ cao \(10\text{m}\) xuống mặt sàn phẳng. Mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên được độ cao bằng \(\frac{1}{2}\) độ cao của lần rơi ngay trước đó. Tính tổng quãng đường quả bóng di chuyển được kể từ lúc thả đến khi nó hoàn toàn dừng lại (coi thời gian di chuyển là vô hạn).
Giải thích:
Quãng đường gồm:
• Lần rơi đầu tiên: \(10\text{m}\).
• Sau đó mỗi lần nảy gồm 1 lượt đi lên và 1 lượt rơi xuống có độ dài bằng nhau: \(2 \times \left(10 \times \frac{1}{2}\right) = 10\text{m}\), lần tiếp theo là \(2 \times \left(10 \times \frac{1}{4}\right) = 5\text{m}\),...
Tổng quãng đường \(S = 10 + 2 \times \left[ 10 \cdot \frac{1}{2} + 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \dots \right]\).
Chuỗi trong ngoặc là cấp số nhân lùi vô hạn với \(u_1 = 5, q = \frac{1}{2} \Rightarrow S_{\text{ngoặc}} = \frac{5}{1 - 0,5} = 10\text{m}\).
Vậy tổng quãng đường \(S = 10 + 2 \times 10 = 30\text{m}\).