Bài học Toán THPT - Giới Hạn Của Dãy Số

📘 BÀI HỌC TOÁN 11: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Chương V: Giới hạn. Hàm số liên tục (Kết nối tri thức với cuộc sống)

📚 Nội dung bài học

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

📌 Định nghĩa:
  • Ta nói dãy số \((u_n)\) có giới hạn là \(0\) khi \(n\) dần tới dương vô cực, nếu khoảng cách từ \(u_n\) đến \(0\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
    Kí hiệu: \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\) hoặc \(\lim u_n = 0\).
  • Ta nói dãy số \((u_n)\) có giới hạn là số thực \(L\) khi \(n \to +\infty\), nếu \(\lim_{n \to +\infty} (u_n - L) = 0\).
    Kí hiệu: \(\lim_{n \to +\infty} u_n = L\) hoặc \(\lim u_n = L\).

Một số giới hạn cơ bản thường dùng

  • \(\lim_{n \to +\infty} \displaystyle\frac{1}{n^k} = 0\) (với \(k\) là số nguyên dương).
  • \(\lim_{n \to +\infty} q^n = 0\) (với \(q\) là số thực thỏa mãn \(|q| < 1\)).
  • \(\lim_{n \to +\infty} c = c\) (với \(c\) là một hằng số).
💡 Chú ý: Từ nay về sau, khi viết \(\lim u_n\) mà không ghi rõ \(n \to +\infty\), ta mặc định hiểu là \(n\) tiến ra dương vô cực (\(n \to +\infty\)).

2. Các định lí về giới hạn hữu hạn

Cho \(\lim u_n = L\) và \(\lim v_n = M\). Khi đó:

📌 Các phép toán giới hạn:
  • \(\lim (u_n + v_n) = L + M\)
  • \(\lim (u_n - v_n) = L - M\)
  • \(\lim (u_n \cdot v_n) = L \cdot M\)
  • \(\lim \displaystyle\frac{u_n}{v_n} = \displaystyle\frac{L}{M}\) (nếu \(M \neq 0\))
📌 Mở rộng về căn thức và bất đẳng thức:
  • Nếu \(u_n \ge 0\) với mọi \(n\) thì \(L \ge 0\) và \(\lim \sqrt{u_n} = \sqrt{L}\).
  • Nếu \(u_n \le v_n\) với mọi \(n\) thì \(\lim u_n \le \lim v_n\).
⚠️ Lưu ý: Các phép toán trên chỉ áp dụng được khi cả hai dãy số đều có giới hạn hữu hạn.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

📌 Định nghĩa:

Cấp số nhân vô hạn \((u_n)\) có công sai (công bội) \(q\) thỏa mãn \(|q| < 1\) được gọi là một cấp số nhân lùi vô hạn.

📌 Công thức tính tổng:

Tổng \(S\) của cấp số nhân lùi vô hạn \((u_n)\) là:

\[S = u_1 + u_2 + u_3 + \dots + u_n + \dots = \displaystyle\frac{u_1}{1 - q}\]
💡 Ứng dụng: Công thức này giúp biến đổi các số thập phân vô hạn tuần hoàn về dạng phân số.

4. Giới hạn vô cực của dãy số

📌 Định nghĩa:
  • Dãy số \((u_n)\) có giới hạn là \(+\infty\) nếu \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: \(\lim u_n = +\infty\).
  • Dãy số \((u_n)\) có giới hạn là \(-\infty\) nếu \(\lim (-u_n) = +\infty\). Kí hiệu: \(\lim u_n = -\infty\).

Một số giới hạn vô cực đặc biệt

  • \(\lim n^k = +\infty\) (với \(k\) là số nguyên dương).
  • \(\lim q^n = +\infty\) (với \(q > 1\)).

Quy tắc tính tích và thương có giới hạn vô cực

1. Quy tắc nhân \(\lim (u_n \cdot v_n)\):

  • Nếu \(\lim u_n = L \neq 0\) và \(\lim v_n = \pm\infty\) thì giới hạn của tích sẽ là \(\pm\infty\) (áp dụng quy tắc dấu: cùng dấu ra \(+\infty\), trái dấu ra \(-\infty\)).

2. Quy tắc chia \(\lim \displaystyle\frac{u_n}{v_n}\):

  • Nếu \(\lim u_n = L\) và \(\lim v_n = \pm\infty\) thì \(\lim \displaystyle\frac{u_n}{v_n} = 0\).
  • Nếu \(\lim u_n = L > 0\), \(\lim v_n = 0\) và \(v_n > 0\) thì \(\lim \displaystyle\frac{u_n}{v_n} = +\infty\).

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Dạng đa thức / phân thức chứa mũ \(n\)

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \displaystyle\frac{2n^2 - 3n + 1}{5n^2 + 4}\)

b) \(\lim \displaystyle\frac{3^n - 2 \cdot 5^n}{1 + 5^n}\)

Lời giải:

a) Chia cả tử và mẫu cho \(n^2\) (bậc cao nhất):

\[\lim \displaystyle\frac{2n^2 - 3n + 1}{5n^2 + 4} = \lim \displaystyle\frac{2 - \displaystyle\frac{3}{n} + \displaystyle\frac{1}{n^2}}{5 + \displaystyle\frac{4}{n^2}} = \displaystyle\frac{2 - 0 + 0}{5 + 0} = \displaystyle\frac{2}{5}\]

b) Chia cả tử và mẫu cho \(5^n\) (cơ số lớn nhất):

\[\lim \displaystyle\frac{3^n - 2 \cdot 5^n}{1 + 5^n} = \lim \displaystyle\frac{\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^n - 2}{\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^n + 1} = \displaystyle\frac{0 - 2}{0 + 1} = -2\]
Ví dụ 2 Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: \(S = 1 - \displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{4} - \displaystyle\frac{1}{8} + \dots + \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1} + \dots\)

Lời giải:

Dãy số trên là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \(u_1 = 1\) và công bội \(q = -\displaystyle\frac{1}{2}\) (thỏa mãn \(|q| < 1\)).

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

\[S = \displaystyle\frac{u_1}{1 - q} = \displaystyle\frac{1}{1 - \left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)} = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{3}{2}} = \displaystyle\frac{2}{3}\]

6. Luyện tập tự giải

Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) \(\lim \displaystyle\frac{4n^3 - 2n + 5}{n^3 + 3n^2 - 1}\)
b) \(\lim \displaystyle\frac{2 \cdot 4^n + 3^n}{4^{n+1} - 2^n}\)
Bài 2: Tính giới hạn chứa căn thức:
a) \(\lim \left(\sqrt{n^2 + 2n} - n\right)\)
b) \(\lim \displaystyle\frac{\sqrt{4n^2 + 1}}{n + 2}\)
Bài 3: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn \(0.333\dots\) dưới dạng phân số tối giản bằng cách áp dụng tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

7. Ghi nhớ & Mẹo giải nhanh giới hạn

🎯 Mẹo nhẩm nhanh giới hạn phân thức \(\lim \displaystyle\frac{P(n)}{Q(n)}\) (với \(P, Q\) là đa thức):
  • Bậc tử = Bậc mẫu: Giới hạn bằng Tỉ số hai hệ số của bậc cao nhất.
  • Bậc tử < Bậc mẫu: Giới hạn luôn bằng \(0\).
  • Bậc tử > Bậc mẫu: Giới hạn ra \(+\infty\) hoặc \(-\infty\) (xét dấu hệ số cao nhất).
💡 Phương pháp nhân lượng liên hợp:

Khi gặp dạng vô định \(+\infty - \infty\) chứa căn thức dạng \(\sqrt{A} - B\) hoặc \(\sqrt{A} - \sqrt{B}\), ta áp dụng các hằng đẳng thức để khử dạng vô định:

  • \(\sqrt{A} - B = \displaystyle\frac{A - B^2}{\sqrt{A} + B}\)
  • \(\sqrt{A} - \sqrt{B} = \displaystyle\frac{A - B}{\sqrt{A} + \sqrt{B}}\)