BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)
a) \(\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + n + 1}{2n^2 + 1}\);
b) \(\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n^2 + 2n} - n\right)\).
a) \(\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + n + 1}{2n^2 + 1}\):
Chia cả tử và mẫu cho \(n^2\):
\[\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + n + 1}{2n^2 + 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{1}{n^2}} = \frac{1 + 0 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2}\]b) \(\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n^2 + 2n} - n\right)\):
Nhân và chia với biểu thức liên hợp \(\sqrt{n^2 + 2n} + n\):
\[\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n^2 + 2n} - n\right) = \lim_{n \to +\infty} \frac{(\sqrt{n^2 + 2n} - n)(\sqrt{n^2 + 2n} + n)}{\sqrt{n^2 + 2n} + n}\] \[= \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 2n - n^2}{\sqrt{n^2 + 2n} + n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2 + 2n} + n}\]Chia cả tử và mẫu cho \(n\) (\(n > 0\)):
\[= \lim_{n \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1} = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{2}{2} = 1\]a) \(\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n^2}{v_n - u_n}\);
b) \(\lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n + 2v_n}\).
Áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số:
a) \(\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n^2}{v_n - u_n}\):
Vì \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 2\) và \(\lim_{n \to +\infty} v_n = 3\), ta có:
\[\lim_{n \to +\infty} u_n^2 = (\lim_{n \to +\infty} u_n)^2 = 2^2 = 4\] \[\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = \lim_{n \to +\infty} v_n - \lim_{n \to +\infty} u_n = 3 - 2 = 1 \neq 0\]Do đó:
\[\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n^2}{v_n - u_n} = \frac{4}{1} = 4\]b) \(\lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n + 2v_n}\):
Ta có:
\[\lim_{n \to +\infty} (u_n + 2v_n) = \lim_{n \to +\infty} u_n + 2 \lim_{n \to +\infty} v_n = 2 + 2(3) = 8 > 0\]Do đó:
\[\lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n + 2v_n} = \sqrt{\lim_{n \to +\infty} (u_n + 2v_n)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]a) \(u_n = \frac{n^2 + 1}{2n - 1}\);
b) \(v_n = \sqrt{2n^2 + 1} - n\).
a) \(u_n = \frac{n^2 + 1}{2n - 1}\):
Chia cả tử và mẫu cho \(n\):
\[u_n = \frac{n + \frac{1}{n}}{2 - \frac{1}{n}}\]Vì \(\lim_{n \to +\infty} \left(n + \frac{1}{n}\right) = +\infty\) và \(\lim_{n \to +\infty} \left(2 - \frac{1}{n}\right) = 2 > 0\), suy ra:
\[\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\]b) \(v_n = \sqrt{2n^2 + 1} - n\):
Rút \(n\) làm nhân tử chung:
\[v_n = \sqrt{n^2\left(2 + \frac{1}{n^2}\right)} - n = n\left(\sqrt{2 + \frac{1}{n^2}} - 1\right)\]Vì \(\lim_{n \to +\infty} n = +\infty\) và \(\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{2 + \frac{1}{n^2}} - 1\right) = \sqrt{2} - 1 > 0\), suy ra:
\[\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty\]a) \(1,(12) = 1,121212\dots\);
b) \(3,(102) = 3,102102102\dots\)
a) \(1,(12) = 1,121212\dots\):
Biểu diễn dưới dạng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
\[1,(12) = 1 + \frac{12}{100} + \frac{12}{100^2} + \frac{12}{100^3} + \dots\]Các số hạng từ \(\frac{12}{100}\) lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \(u_1 = \frac{12}{100}\) và công bội \(q = \frac{1}{100}\) (\(|q| < 1\)).
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
\[S = \frac{u_1}{1 - q} = \frac{\frac{12}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{12}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}\]Do đó:
\[1,(12) = 1 + \frac{4}{33} = \frac{37}{33}\]b) \(3,(102) = 3,102102102\dots\):
Biểu diễn dưới dạng tổng:
\[3,(102) = 3 + \frac{102}{1000} + \frac{102}{1000^2} + \frac{102}{1000^3} + \dots\]Xét tổng cấp số nhân lùi vô hạn với \(u_1 = \frac{102}{1000}\) và \(q = \frac{1}{1000}\):
\[S = \frac{\frac{102}{1000}}{1 - \frac{1}{1000}} = \frac{\frac{102}{1000}}{\frac{999}{1000}} = \frac{102}{999} = \frac{34}{333}\]Do đó:
\[3,(102) = 3 + \frac{34}{333} = \frac{333 \times 3 + 34}{333} = \frac{1033}{333}\]1. Tính lượng thuốc trong cơ thể sau khi uống viên thuốc ngày thứ 5:
Gọi \(u_n\) là lượng thuốc (mg) trong cơ thể bệnh nhân ngay sau khi uống viên thuốc ngày thứ \(n\).
- Ngày thứ nhất (\(n = 1\)): \(u_1 = 150\) mg.
- Ngày thứ hai (\(n = 2\)): \(u_2 = 150 + 5\% u_1 = 150 + 0,05 \times 150\).
- Ngày thứ ba (\(n = 3\)): \(u_3 = 150 + 0,05 u_2 = 150 + 150 \times 0,05 + 150 \times 0,05^2\).
Tổng quát, lượng thuốc trong cơ thể sau khi uống ngày thứ \(n\) là:
\[u_n = 150 + 150 \times 0,05 + 150 \times 0,05^2 + \dots + 150 \times 0,05^{n-1} = 150 \cdot \frac{1 - 0,05^n}{1 - 0,05}\]Với ngày thứ 5 (\(n = 5\)):
\[u_5 = 150 \cdot \frac{1 - 0,05^5}{1 - 0,05} = 150 \cdot \frac{1 - 0,0000003125}{0,95} \approx 157,89 \text{ (mg)}\]2. Ước tính lượng thuốc khi sử dụng trong một thời gian dài (\(n \to +\infty\)):
Khi bệnh nhân sử dụng thuốc lâu dài (\(n \to +\infty\)), lượng thuốc trong cơ thể tiến dần về giới hạn của cấp số nhân lùi vô hạn (\(|0,05| < 1\)):
\[\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} 150 \cdot \frac{1 - 0,05^n}{1 - 0,05} = \frac{150}{1 - 0,05} = \frac{150}{0,95} = \frac{3000}{19} \approx 157,89 \text{ (mg)}\]Vậy lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sẽ ổn định ở mức khoảng 157,89 mg.
Xét các tam giác vuông trong hình vẽ:
- Trong tam giác vuông \(ABA_1\) vuông tại \(A_1\), góc \(\widehat{B} = \alpha\): \[AA_1 = AB \cdot \sin \alpha = h \sin \alpha\]
- Ta có \(\widehat{A_1AC} = \alpha\) (cùng phụ với \(\widehat{C}\)).
Trong tam giác vuông \(AA_1A_2\) vuông tại \(A_2\): \[A_1A_2 = AA_1 \cdot \cos \alpha = h \sin \alpha \cos \alpha\] - Trong tam giác vuông \(A_1A_2A_3\) vuông tại \(A_3\), góc \(\widehat{A_2A_1C} = \alpha\): \[A_2A_3 = A_1A_2 \cdot \cos \alpha = h \sin \alpha \cos^2 \alpha\]
Độ dài các đoạn thẳng của đường gấp khúc \(AA_1, A_1A_2, A_2A_3, \dots\) lập thành một cấp số nhân có:
- Số hạng đầu: \(u_1 = AA_1 = h \sin \alpha\)
- Công bội: \(q = \cos \alpha\)
Vì góc nhọn \(\alpha \in (0^\circ; 90^\circ)\) nên \(0 < \cos \alpha < 1\), đây là cấp số nhân lùi vô hạn.
Độ dài của đường gấp khúc vô hạn \(AA_1A_2A_3\dots\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
\[S = u_1 + u_2 + u_3 + \dots = \frac{u_1}{1 - q} = \frac{h \sin \alpha}{1 - \cos \alpha}\]Vậy độ dài đường gấp khúc vô hạn là \(\frac{h \sin \alpha}{1 - \cos \alpha}\).