BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

Theo tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song, nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \((P)\) thì mọi mặt phẳng \((Q)\) chứa \(a\) mà cắt \((P)\) theo giao tuyến \(b\) sẽ cho giao tuyến \(b\) song song với \(a\).

Chọn C.

Gọi \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\). Trong tam giác \(SBD\), \(M\) là trung điểm của \(SD\) và \(O\) là trung điểm của \(BD\), nên \(MO\) là đường trung bình của tam giác \(SBD\).

Suy ra \(MO \parallel SB\).

Mà \(O \in AC \subset (ACM)\), do đó đường thẳng \(SB\) song song với mặt phẳng \((ACM)\).

Chọn B.

Ta có các cặp đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng \((AB'D')\) là \(AB'\) và \(AD'\).

Trong hình hộp, ta có \(AB' \parallel DC'\) và \(AD' \parallel BC'\), đồng thời \(B'D' \parallel BD\).

Do đó, hai mặt phẳng \((AB'D')\) và \((BDC')\) có các cặp đường thẳng tương ứng song song với nhau, suy ra \((AB'D') \parallel (BDC')\).

Chọn D.

Theo định lý Thales trong không gian, các mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ:

Chọn A.

Trong tam giác \(SAC\), gọi \(O = AC \cap BD\). Đường thẳng \(SO\) là trung tuyến của tam giác \(SAC\).

Mặt phẳng \((AMN)\) cắt \(SO\) tại trọng tâm của tam giác \(SAC\), từ đó suy ra giao điểm \(K\) của \((AMN)\) và \(SC\) là trọng tâm của tam giác \(SAC\).

Do đó \(SK = \frac{1}{3}SC\), tức là \(\frac{SK}{SC} = \frac{1}{3}\).

Chọn B.

• Hình chiếu của đỉnh \(B'\) theo phương \(AA'\) xuống mặt phẳng \((A'B'C'D')\) chính là điểm \(B'\).
• Hình chiếu của đỉnh \(D\) theo phương \(AA'\) xuống mặt phẳng \((A'B'C'D')\) chính là điểm \(D'\).
• Hình chiếu của điểm \(M\) (trung điểm của \(BC\)) theo phương \(AA'\) xuống mặt phẳng \((A'B'C'D')\) chính là trung điểm của \(B'C'\), tức là điểm \(M'\).

Vậy hình chiếu của \(\Delta B'DM\) là \(\Delta B'D'M'\).

Chọn D.

a) Giao tuyến của \((SAD)\) và \((SBC)\):

• Điểm chung thứ nhất là đỉnh \(S\).
• Trong mặt phẳng đáy \((ABCD)\), gọi \(E = AD \cap BC\). Khi đó \(E\) là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng.

Vậy giao tuyến là đường thẳng \(SE\).

b) Giao tuyến của \((SAB)\) và \((SCD)\):

• Điểm chung thứ nhất là đỉnh \(S\).
• Vì \(ABCD\) là hình thang có \(AB \parallel CD\), nên giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua \(S\) và song song với \(AB\) và \(CD\).

c) Giao tuyến của \((SAC)\) và \((SBD)\):

• Điểm chung thứ nhất là đỉnh \(S\).
• Trong mặt phẳng đáy \((ABCD)\), gọi \(O = AC \cap BD\). Khi đó \(O\) là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến là đường thẳng \(SO\).

a) Xác định giao điểm của \((MNP)\) với \(B'C\):

Trong mặt phẳng \((ABB'A')\), kéo dài đoạn \(MP\) cắt đường thẳng \(A'B'\) tại điểm \(I\). Đường thẳng \(IN\) cắt đường thẳng \(B'C\) tại điểm \(K\). Điểm \(K\) chính là giao điểm cần tìm.

b) Tính tỉ số \(\frac{KB'}{KC}\):

Bằng cách áp dụng định lý Menelaus hoặc tính chất hình học trong tam giác, ta tính được tỉ số:

a) Xác định giao điểm \(K\) và tính tỉ số \(\frac{SK}{SD}\):

• Trong mặt phẳng \((SCD)\), qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(CD\) (và \(AB\)) cắt cạnh \(SD\) tại \(K\). Điểm \(K\) chính là giao điểm của \((ABM)\) và \(SD\).
• Theo giả thiết \(CM = 2SM \Rightarrow \frac{SM}{SC} = \frac{1}{3}\). Áp dụng định lý Thales trong tam giác \(SCD\), ta có: \[\frac{SK}{SD} = \frac{SM}{SC} = \frac{1}{3}\]

b) Chứng minh \(MN \parallel (SAD)\):

Chứng minh \(MN\) song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng \((SAD)\) bằng cách dựng hình phụ hoặc hệ thức vectơ, từ đó suy ra \(MN \parallel (SAD)\).

a) Chứng minh \(GK \parallel (ABCD)\):

Gọi \(E, F\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(CD\). Xét tam giác \(SEF\), theo tính chất trọng tâm ta có \(GK \parallel EF\). Mà \(EF \parallel AC \subset (ABCD)\), nên \(GK \parallel (ABCD)\).

b) Chứng minh tứ giác \(MNEF\) là hình bình hành:

Vì mặt phẳng chứa \(GK\) song song với \((ABCD)\), nó cắt các mặt bên theo các giao tuyến \(MN \parallel AB\), \(NE \parallel BC\), \(EF \parallel CD\), \(FM \parallel AD\).

Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\), suy ra các cặp cạnh đối của tứ giác \(MNEF\) song song với nhau. Vậy \(MNEF\) là hình bình hành.

a) Chứng minh các quan hệ song song:

• \(BD \parallel B'D'\) do tính chất đáy hình hộp là hình bình hành.
• \((A'BD) \parallel (CB'D')\) do có các cặp đường thẳng cắt nhau song song tương ứng.
• \(MN \parallel (BDD'B')\) chứng minh bằng cách chỉ ra \(MN\) song song với một đường thẳng nằm trong \((BDD'B')\).

b) Chứng minh \(AC'\) đi qua trọng tâm \(G\) của \(\Delta A'BD\):

Trong hình hộp, đường chéo chính \(AC'\) cắt mặt phẳng \((A'BD)\) tại trọng tâm \(G\) của tam giác \(A'BD\).

a) Xác định giao điểm \(K\):

• Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(AD\) cắt \(BD\) tại \(E\).
• Qua \(E\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(CD\) tại điểm \(K\).

Điểm \(K\) chính là giao điểm của mặt phẳng \((P)\) và đường thẳng \(CD\).

b) Tính tỉ số \(\frac{KC}{CD}\):

• Theo giả thiết \(BM = 3AM \Rightarrow \frac{AM}{AB} = \frac{1}{4}\).
• Áp dụng định lý Thales trong tam giác \(ABD\) (\(ME \parallel AD\)): \(\frac{BE}{BD} = \frac{BM}{BA} = \frac{3}{4}\).
• Áp dụng định lý Thales trong tam giác \(BCD\) (\(EK \parallel BC\)): \[\frac{KC}{CD} = \frac{BE}{BD} = \frac{3}{4}\]