Mind Map

BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

1. Đường thẳng song song với mặt phẳng

2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

3. Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song

Ví dụ – Hình chóp và tứ diện

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là trung điểm của $CD$. Chứng minh rằng $MN$ song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(ADC)$.

(Chừa chỗ (Hình …))

Giải

Xét hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(ADC)$. Giao tuyến của chúng là đường thẳng $d = (ABC)\cap(ADC)$ chính là giao của hai tam giác có chung cạnh $AC$.

Vì $M$ và $N$ là trung điểm của $AB$ và $CD$ tương ứng, nên trong hai tam giác $ABC$ và $ADC$ ta có $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là trung điểm của $CD$. Đường nối hai trung điểm của hai đoạn tương ứng trong hai tam giác song song với giao tuyến $d$.

Suy ra $MN \parallel d$.

Ví dụ 2 Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA, SB$. Chứng minh: $MN \parallel AB$ và suy ra $MN \parallel CD$.

(Chừa chỗ (Hình …))

Giải

Trong tam giác $SAB$, vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, do đó $MN\parallel AB$.

Vì $AB\parallel CD$ (đáy là hình bình hành), nên $MN\parallel CD$.

Ví dụ 3 Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang (đáy lớn $AB$). Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA, SB$. Chứng minh $MN\parallel CD$.

(Chừa chỗ (Hình …))

Giải

Tương tự như Ví dụ 2, $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, nên $MN\parallel AB$. Vì trong hình thang $AB\parallel CD$, suy ra $MN\parallel CD$.

Ví dụ 4 Cho tứ diện $SABC$; trên $SA, SB, SC$ lấy các điểm $A',B',C'$ sao cho $A'B'C'$ là một tam giác. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(A'B'S)$ và $(B'C'A)$.

(Chừa chỗ (Hình …))

Giải

Xét các mặt phẳng $(A'B'S)$ và $(B'C'A)$. Ta tìm hai điểm chung (nếu có) hoặc các giao điểm của các đường tương ứng trong các tam giác đáy để xác định giao tuyến.

Một cách làm chung: tìm một điểm $P$ thuộc cả hai mặt (ví dụ là giao của hai đường thẳng thuộc từng mặt phẳng) rồi nối $P$ với một điểm khác cùng thuộc hai mặt để xác định giao tuyến. Trong nhiều cấu hình, giao tuyến sẽ đi qua đỉnh $S$ hoặc một điểm trên cạnh đáy được xác định bởi các giao tuyến của các cạnh tương ứng.

Ghi chú: để rõ ràng cần đặt tên các giao điểm cụ thể trong ảnh và áp dụng nguyên tắc: giao của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua hai điểm nằm trong cả hai mặt phẳng.

Ví dụ 5 Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$, $I, J$ là trung điểm $AD$ và $BC$. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ với các mặt của hình chóp.

(Chừa chỗ (Hình …))

Giải

Vì $I,J$ là trung điểm của $AD$ và $BC$, nên $IJ$ là đường trung bình của hình bình hành đáy, tức $IJ\parallel AB\parallel CD$.

Trọng tâm $G$ của tam giác $SAB$ nằm trên đoạn nối đỉnh $S$ với trung điểm của $AB$; khi xét mặt phẳng $(IJG)$, giao tuyến với $(SAB)$ sẽ là một đường thẳng qua $G$ song song với $IJ$ (do tỉ lệ trung điểm/trọng tâm trong tam giác).

Tương tự, giao tuyến $(IJG)\cap(SAD)$, $(IJG)\cap(SBC)$... đều có thể xác định là các đường thẳng đi qua các điểm tương ứng và song song với $IJ$ hoặc các cạnh tương ứng trong đáy; nhiều khi chúng ghép thành những đoạn song song tạo hình tứ giác song song đối (hình bình hành) khi các điều kiện tỉ lệ thỏa mãn.

Ghi chú: để biểu diễn chính xác các giao tuyến và minh hoạ, thêm (Hình ...) sẽ giúp xác định các điểm giao và kiểm tra tỉ lệ.