Mind Map

BÀI 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

2. Tính chất cơ bản về hai đường thẳng song song

Ví dụ – Hình chóp có đáy là hình bình hành, hình thang

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$ và $SB$. Chứng minh rằng $IJ \parallel AB$, từ đó suy ra $IJ \parallel CD$.

(Chừa chỗ (Hình ...))

Giải

Vì $I,J$ lần lượt là trung điểm của $SA, SB$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAB$.

Do đó $IJ \parallel AB$.

Mà $AB \parallel CD$ (vì $ABCD$ là hình bình hành), nên $IJ \parallel CD$ (vì nếu hai đường cùng song song với một đường thứ ba thì chúng song song với nhau hoặc cùng hướng song song với đường đó).

Ví dụ 2 Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là một hình thang với đáy lớn $AB$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA, SB$.

Chứng minh $MN \parallel CD$.
Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ADN)$. Gọi $I$ là giao điểm của $AN$ và $DP$. Chứng minh $SI \parallel CD$.

(Chừa chỗ (Hình ...))

Giải

1. Xét tam giác $SAB$, vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$. Do đó $MN \parallel AB$.

Vì $AB \parallel CD$ (đáy của hình thang), suy ra $MN \parallel CD$.

2. Xét mặt phẳng $(ADN)$. Gọi $P = SC \cap (ADN)$. Vì $P$ thuộc $(ADN)$ và $P$ nằm trên $SC$, nên đường thẳng $DP$ cắt $AN$ tại một điểm $I$ nào đó (theo giả thiết đặt tên).

Xét tam giác $S D A$ (hoặc sử dụng cấu trúc giao tuyến hai mặt phẳng): điểm $I$ là giao của $AN$ và $DP$, các đoạn thẳng trung bình trong các tam giác tương ứng cho thấy $SI$ song song với $MN$ (vì $S,I$ lần lượt nối với các trung điểm tương ứng trong các tam giác liên quan). Kết hợp với kết quả (1) $MN\parallel CD$ ta được $SI\parallel CD$.

Ghi chú: để biểu diễn chi tiết, người ta thường đặt thêm các điểm giao trong đáy (ví dụ $E = AD\cap BC$) rồi dùng tính chất đường trung bình và tính chất song song trong các tam giác và mặt phẳng để suy ra $SI\parallel CD$.

Ví dụ 3 Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$.

(Chừa chỗ (Hình ...))

Giải

Cả hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ đều chứa đỉnh $S$ và lần lượt chứa các cạnh đáy $AB$ và $CD$.

Vì $AB \parallel CD$ (do $ABCD$ là hình bình hành), nên giao tuyến của hai mặt phẳng kể trên là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$ (hoặc $CD$). Kí hiệu giao tuyến là đường thẳng $d$ sao cho $d$ đi qua $S$ và $d \parallel AB \parallel CD$.

Ví dụ 4 Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn $AB$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD$ và $BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:

$(SAB)$ và $(IJG)$;
Tìm điều kiện để các $AB$ và $CD$ tạo thành một mặt phẳng $(IJG)$ với các mặt của hình chóp tạo thành một hình bình hành.

(Chừa chỗ (Hình ...))

Giải

a) Vì $I,J$ là trung điểm của $AD$ và $BC$ tương ứng, đoạn $IJ$ là đường trung bình của hình thang đáy $ABCD$ (kết luận: $IJ \parallel AB$ và $IJ \parallel CD$ khi $AB \parallel CD$).

Trọng tâm $G$ của tam giác $SAB$ nằm trên đường nối đỉnh $S$ với trung điểm của cạnh đối diện; do đó khi xét mặt phẳng $(IJG)$ ta thấy đường giao tuyến của $(SAB)$ và $(IJG)$ là đường thẳng đi qua $G$ song song với $IJ$ (tương tự như các lí luận đường trung bình trong tam giác/ hình thang).

Vì $IJ \parallel AB$, nên giao tuyến $(SAB)\cap(IJG)$ là một đường thẳng qua $G$ song song với $AB$ (ký hiệu ví dụ $g$ sao cho $g \parallel AB$ và $g$ đi qua $G$).

b) Để mặt phẳng $(IJG)$ cùng với một số mặt của hình chóp tạo thành một hình bình hành (theo ý bài), cần các quan hệ song song giữa các đoạn tương ứng (ví dụ $MN$ trung bình nối tương ứng bằng $\tfrac{1}{2}AB$ trong các trường hợp cụ thể). Cụ thể, nếu $IJ$ là đường trung bình và $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$ thì tỷ lệ các cạnh và vị trí các điểm trung bình xác định cấu trúc hình bình hành của các giao tuyến. Khi các điều kiện song song/tỉ lệ đúng (ví dụ $IJ \parallel AB$ và các đoạn nối trung điểm tỉ lệ tương ứng), các giao tuyến của $(IJG)$ với các mặt của hình chóp sẽ ghép lại thành một hình tứ giác song song đối, tức một hình bình hành.

Ghi chú: phần (b) trong sách trình bày chi tiết bằng cách tính tỉ lệ đoạn (dùng trung điểm và trọng tâm) để chứng minh các đoạn song song và bằng nhau; bạn có thể thêm (Hình ...) vào vị trí chừa chỗ để người đọc nhìn thấy cấu hình chính xác và các điểm được đặt tên.