Bài học Toán THPT - Phép Chiếu Song Song

📘 BÀI HỌC TOÁN 11: PHÉP CHIẾU SONG SONG

Chương IV: Quan hệ song song trong không gian (Kết nối tri thức với cuộc sống)

📚 Nội dung bài học

1. Khái niệm Phép chiếu song song

📌 Định nghĩa:

Cho mặt phẳng \((P)\) và đường thẳng \(\Delta\) cắt \((P)\). Phép đặt tương ứng mỗi điểm \(M\) trong không gian với điểm \(M'\) của mặt phẳng \((P)\) sao cho \(MM'\) song song với \(\Delta\) hoặc nằm trên \(\Delta\) được gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng \((P)\) theo phương \(\Delta\).

  • Mặt phẳng \((P)\) được gọi là mặt phẳng chiếu.
  • Đường thẳng \(\Delta\) gọi là phương chiếu.
  • Điểm \(M'\) gọi là hình chiếu song song (hoặc ảnh) của điểm \(M\) qua phép chiếu song song nói trên.
  • Cho hình \(\mathcal{H}\), tập hợp \(\mathcal{H}'\) gồm các hình chiếu \(M'\) của mọi điểm \(M \in \mathcal{H}\) được gọi là hình chiếu song song của hình \(\mathcal{H}\).
💡 Chú ý đặc biệt: Nếu điểm \(M\) nằm trên mặt phẳng chiếu \((P)\) thì hình chiếu \(M'\) trùng với chính nó (\(M' \equiv M\)).

2. Các tính chất của phép chiếu song song

Phép chiếu song song bảo toàn một số tính chất hình học quan trọng (với điều kiện các đường thẳng, đoạn thẳng xét đến không song song hoặc không trùng với phương chiếu \(\Delta\)):

📌 Các tính chất bảo toàn:
  1. Điểm và đường thẳng: Biến một điểm thành một điểm, biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng, biến một tia thành một tia.
  2. Thẳng hàng: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm đó.
  3. Quan hệ song song: Biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
  4. Tỉ số đoạn thẳng: Bảo toàn tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc nằm trên cùng một đường thẳng.
⚠️ Những tính chất KHÔNG được bảo toàn:
  • Phép chiếu song song nói chung không bảo toàn góc (góc vuông có thể biến thành góc nhọn hoặc góc tù).
  • Không bảo toàn độ dài của đoạn thẳng và không bảo toàn diện tích của một hình.

3. Hình biểu diễn của một hình không gian

Hình biểu diễn của một hình không gian \(\mathcal{H}\) là hình chiếu song song của hình \(\mathcal{H}\) trên một mặt phẳng hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

Quy tắc vẽ hình biểu diễn của các hình phẳng cơ bản

  • Tam giác: Một tam giác bất kỳ (nhọn, vuông, cân, đều) luôn có hình biểu diễn là một tam giác tùy ý.
  • Hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông: Đều có hình biểu diễn là một hình bình hành.
  • Hình thang: Có hình biểu diễn là một hình thang (bảo toàn tỉ số độ dài hai đáy).
  • Hình tròn: Có hình biểu diễn là một đường elip (hoặc đường tròn trong trường hợp đặc biệt).
💡 Nguyên tắc cơ bản: Khi vẽ hình biểu diễn, ta phải giữ nguyên tính song song và tỉ số của các đoạn thẳng song song (hoặc cùng nằm trên một đường thẳng).

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Xác định tính chất đúng/sai

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai khi nói về phép chiếu song song?

a) Phép chiếu song song luôn biến hai đường thẳng cắt nhau thành hai đường thẳng cắt nhau.

b) Phép chiếu song song bảo toàn trung điểm của một đoạn thẳng.

Lời giải:

a) Sai. Hai đường thẳng cắt nhau có thể có hình chiếu là hai đường thẳng song song (nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó song song với phương chiếu) hoặc trùng nhau.

b) Đúng. Vì phép chiếu song song bảo toàn tỉ số độ dài các đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng, nên trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) (với \(\frac{MA}{MB} = 1\)) sẽ biến thành trung điểm \(M'\) của đoạn thẳng \(A'B'\).

Ví dụ 2 Xác định hình chiếu của một điểm

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Xác định hình chiếu của điểm \(A\) lên mặt phẳng \((A'B'C')\) theo phương \(BB'\).

Lời giải:

Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ nên cạnh bên \(AA'\) song song với \(BB'\).

Đường thẳng \(AA'\) đi qua điểm \(A\), song song với phương chiếu \(BB'\) và cắt mặt phẳng chiếu \((A'B'C')\) tại điểm \(A'\).

Vậy hình chiếu song song của điểm \(A\) lên mặt phẳng \((A'B'C')\) theo phương \(BB'\) chính là điểm \(A'\).

5. Luyện tập tự giải

Bài 1: Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Tìm hình chiếu song song của tam giác \(BDA\) lên mặt phẳng \((A'B'C'D')\) theo phương chiếu \(CC'\).
Bài 2: Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Tìm hình chiếu song song của đoạn thẳng \(MN\) lên mặt phẳng \((BCD)\) theo phương chiếu \(AC\).
Bài 3: Tại sao hình biểu diễn của một đường tròn lại thường là một đường elip? Khi nào thì hình biểu diễn của đường tròn vẫn là một đường tròn?

6. Ghi nhớ & Mẹo vẽ hình không gian

🎯 3 Quy tắc vàng khi vẽ hình không gian:
  1. Đường nhìn thấy & Đường bị che khuất: Đường nhìn thấy vẽ bằng nét liền (\(-\)), đường bị che khuất vẽ bằng nét đứt (\(\dots\)).
  2. Giữ nguyên quan hệ song song: Hai đường thẳng song song trong không gian phải được vẽ song song trên hình biểu diễn.
  3. Không tự ý đổi dạng hình: Tam giác vuông, cân, đều chỉ vẽ thành tam giác bình thường; hình vuông, chữ nhật, thoi chỉ vẽ thành hình bình hành.
💡 Mẹo nhỏ khi làm bài tập trắc nghiệm:
  • Nếu đề bài nhắc đến tỉ số đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng cắt nhau không song song, tỉ số đó chưa chắc được bảo toàn qua phép chiếu song song.
  • Các tính chất liên quan đến vuông góc, độ lớn góc, độ dài đoạn thẳng thường bị thay đổi qua phép chiếu song song.